La Géométrie Tortueuse du Tore Plat | Relativité 9

Le Tore Plat

Ces derniers temps, j’ai passé beaucoup trop de temps à jouer au jeu Netwalk sur la droite. Ce jeu consiste à construire un réseau connecté. Il se joue dans un carré. Mais pas n’importe quel carré. Quand on sort par la droite, on réapparaît à gauche. Comme dans ces jeux bien cools.

Et le lien entre ces jeux et ta vidéo ?

Aussi surprenant que ça puisse paraître, le monde de Netwalk, l’univers de Pacman et le tore Hévéa sont géométriquement identiques !

OK… Je l’avoue. Il y a une petite différence entre l’univers de Pacman et le tore Hévéa en termes d’accélérations. On y vient…
Euh… C’est un peu dur à concevoir…

En effet ! Il aura fallu deux géants des mathématiques pour donner un sens à l’égalité entre ces deux univers. Le premier est Carl Friedrich Gauss, le « prince des mathématiques », qui a prouvé le Theorema Egregium. Il y aura bientôt une vidéo à ce sujet…

Et le second géant, c’est…

Le second est Bernhard Riemann, l’élève de Gauss, qui donna jour aux géométries des variétés riemanniennes. En gros, une variété riemannienne est un espace composé de petits morceaux « plats » (ou, plutôt, euclidiens) collés les uns aux autres. Le tore de la vidéo est un exemple de variété riemannienne de dimension 2, que l’on appelle aussi surface riemannienne. Si l’on zoome suffisamment sur un point, alors la surface va ressembler à un morceau de papier. Mieux encore, dans le cas du tore Hévéa, les distances et les angles sont identiques à celles d’une feuille carrée !

Plus précisément, chaque morceau dont je parle est en fait un morceau infinitésimal, que l’on appelle plan tangent. Dans chaque plan tangent, un produit scalaire doit être défini, ce qui permet de définir des angles et des distances autour de chaque point de la variété. Ainsi, on sait « à quelle distance » se trouvent les autres plans tangents de la variété. Au milieu de l’image ci-dessus, vous voyez une section de dimension 2 d’une variété Calabi-Yau de dimension 6. Ce type de variété de dimension 6 joue un rôle très important en théorie des cordes. La longueur d’un chemin dans une variété riemannienne correspond à l’addition des petits bouts de chemin, que l’on peut calculer à l’aide des produits scalaires locaux.

Le problème que je pose dans la vidéo d’introduction concerne le collage des côtés opposés d’un carré. De façon (beaucoup trop) grossière, ceci correspond au dessin ci-dessous, qui transforme le carré en un tore « classique » :

Le plongement isométrique

Sauf que courber un carré comme dans le dessin ci-dessus est impossible sans étirer la matière du papier. Dans le cadre de la vidéo d’introduction, on se pose la question du collage des côtés opposés sans étirement ni contraction du papier.

Est-ce bien plus dur ?

Ça l’est ! Cette condition de non-étirement est ce que l’on appelle l’isométrie. Pour avoir une intuition tactile de l’isométrie, je vous invite à regarder cette superbe vidéo par Colm Kelleher sur TedEd. Colm Kelleher explique comment l’isométrie peut empêcher une part de pizza de tomber :

Comme la vidéo l’explique, il est impossible de courber une feuille de papier en une sphère ou en une chip. C’est parce que les courbures de ces formes sont différentes. Or la forme du tore classique possède aussi des courbures, sphériques à l’extérieur, et en forme de chip à l’intérieur. Il est donc impossible de courber un carré de papier en un tore classique ! S’il est possible de plier un carré en un tore, il faudra en faire un tore non-classique. Et à l’époque de Nash, personne ne savait si cela serait possible.

Et c’est là qu’intervient Nash ?

Oui ! Plus exactement, en 1954, Nash a prouvé un théorème dit de plongement isométrique. Dans le cas particulier du carré, ce théorème prouve qu’il est possible d’en coller les côtés opposés… à condition de tordre la feuille du carré de sorte qu’aucune accélération ne puisse être définie nulle part !

Qu’est-ce que ça veut dire ça ?

En voici une illustration. Imaginez un skater descendre une pente :

Dans le premier cas, la pente a une grosse discontinuité au niveau du point vert. D’une certaine manière, la pente ne peut pas être définie en ce point. Dans le troisième cas, la pente est lisse, et le skater ne sentira rien de spécial au niveau du point vert. Enfin, et c’est ce qui nous intéresse, dans le second cas, le skater va tout à coup sentir une force au niveau du point vert. Nash prouva que le second cas, appelé $\mathcal C^1$ et non $\mathcal C^2$, devait survenir à un nombre infini de points si l’on voulait coller les côtés opposés d’un carré. Cependant, il ne sut pas fournir une géométrie $\mathcal C^1$ du carré aux côtés opposés collés.

Techniquement, le second cas correspond à un point vert sans dérivée seconde. Du coup, les lois de Newton ne pourraient pas s’appliquer aux objets du tore Hévéa… à moins que l’on ne se permette de coller les côtés opposés du carré dans un espace de dimension 4 ou plus ! Le second théorème de Nash décrit un espèce de tradeoff entre la régularité du repliement et la dimension dans laquelle on s’impose de faire ce repliement, étant donné la dimension de la variété que l’on cherche à replier.

Les fractales de Mandelbrot

Aussi étrange que cela puisse paraître, il est bien plus simple de replier le carré en un tore dans lequel l’accélération n’est définie nulle part.

Vraiment ? Ça a l’air super bizarre…

Pour comprendre ce que ceci peut vouloir dire, parlons de d’autres objets géométrique fabuleux : les courbes continues partout et dérivables nulle part.

Euh… ça existe ?

Et oui ! Les premiers exemples datent du 19ème siècle. On les appelait des monstres. L’un des premiers était la fonction de Weierstrass $\sum 2^{-n} cos(4^n x)$. Il y a plein d’autres exemples incroyables, du flocon de Koch, à la côte britannique, comme l’explique si bien Mickaël Launay :

Ah ! C’est donc ça des fractales : des courbes continues non-dérivables !

Le premier à identifier et à étudier longuement ces géométries est le mathématicien Benoît Mandelbrot. Ses premiers articles sur cette nouvelle géométrie ont été répétées à maintes reprises par la communauté mathématique, qui n’y voyait pas une « vraie » géométrie. Mandelbrot décida alors d’écrire un livre, avec de nombreuses images spectaculaires. La plus connue, appelée l’ensemble de Mandelbrot, finit même par devenir un élément de culture populaire ! Il s’agit en tout cas du sujet de l’excellente vidéo suivante d’Eljj :

L’une des propriétés fondamentales des fractales, c’est que leurs longueurs sont aisément infinies, ou en tout cas beaucoup plus grandes qu’elles n’en ont l’air. Et ça, c’est la clé pour construire le tore Hévéa…

Le tore Hévéa

L’idée de la construction de tore Hévéa consiste à partir d’un tore classique, et à ajouter des perturbations « à la manière des fractales », surtout à l’intérieur du tore, là où les distances sont plus courtes que dans le carré. Toutefois, si vous regardez le tore Hévéa de près, vous verrez qu’il ne s’agit pas d’une fractale. Ça tombe bien, puisque les fractales ne sont pas dérivables, alors que le tore Hévéa se doit d’être dérivable. Toutefois, en diminuant l’intensité des perturbations « à la fractale », l’équipe Hévéa a réussi à trouver le parfait équilibre entre dérivabilité et distances. Ce processus « à la fractale » est décrit ci-dessous :

Toutes ces images sont prises de la page web du projet Hévéa. En théorie, il faudrait un nombre infini d’itérations « à la fractale ». Mais en pratique, il suffit de 5 itérations, car toute itération subséquente sera invisible à l’image.
Mais le tore Hévéa est-il vraiment un carré non-étiré ?

C’est dur à voir… mais oui ! Ci-dessous, vous verrez la manière dont les lignes droites du carré sont associées à des lignes droites du tore Hévéa :

On voit ci-dessus que les boucles noires et vertes sont de la même longueur dans les deux figures. Bon, je l’admet, ce n’est pas franchement évident sur le tore Hévéa, mais c’est parce que la boucle noire a une structure fractale, ce qui veut dire qu’elle est plus longue qu’elle n’en a l’air !

Attends… Est-ce que le tore Hévéa est vrai dérivable ?

Oui ! La clé pour obtenir la dérivabilité est d’ajouter des perturbations dont les amplitudes décroissent rapidement, bien plus rapidement que dans le cas du flocon de Koch par exemple. Une façon de visualiser ceci est de regarder la forme de la boucle noire illustrée ci-dessous (et qui correspond à un méridian), et de la comparer au flocon de Koch.

Contrairement au flocon de Koch, le méridien du tore Hévéa est encore suffisamment lisse pour avoir des tangentes qui varient continûment.

Concluons

Au lieu de récapituler moi-même, je vous laisse écouter le génial James Grime :

Le tore Hévéa est la culmination spectaculaire de plus de 160 ans de réflexions mathématiques. Évidemment, cet article ne mentionne que les mathématiciens auteurs des percées les plus admirables. Malheureusement, il ignore tragiquement les centaines ou milliers de mathématiciens qui ont contribué à notre intuition et notre compréhension des courbes, des surfaces et des variétés de toutes dimensions. Ce travail silencieux fait la magie des mathématiques. Pensez-y. Grâce aux contributions de mathématiciens moins connus, nous avons désormais la chance de voir des objets géométriques que des géants comme Gauss, Riemann, Nash et Mandelbrot ont longtemps cherché sans jamais en voir l’ombre. J’ose espérer que vous vous sentez privilégiés et reconnaissants, au moment où vous jouirez encore et encore des merveilleuses images du tore Hévéa ci-dessous…

J’aimerais aussi insister sur le fait que, si combiner les idées de Nash et Mandelbrot semble raisonnablement faisable, il s’agit en fait d’un travail horriblement délicat. Il aura fallu 5 ans à l’équipe Hévéa pour déterminer la géométrie du tore Hévéa, et de nombreuses tentatives échouées. Il leur aura fallu des mathématiques ultra-modernes, dont le principe d’homotopie de Mikhaïl Gromov. Voilà une raison de plus d’insister sur l’incroyable travail qui aura conduit au tore Hévéa. Félicitation à l’équipe Hévéa !

Et pour finir, voici mon image préférée du tore Hévéa !

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By | Updated:2016-03 | Views: 173
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Réactions à “La Géométrie Tortueuse du Tore Plat | Relativité 9

  1. C’est vrai que cette figure est très belle. Très bon article en lien avec la vidéo qui n’oublie pas les petites mains, c’est suffisamment rare pour être précisé.

  2. Je suis en admiration devant tout ton boulot, sincèrement. J’ai jamais fait de maths à l’école et c’est aujourd’hui un regret (trop fainéante à l’époque, j’ai choisi la facilité), mais grâce à des gens comme toi, je peux aujourd’hui découvrir, au moins un peu, ce monde fascinant. Donc bravo et merci. 😉

    1. Merci pour ce message. C’est un bonheur immense pour moi de découvrir que des personnes ayant été quelque peu dégoûtées des maths à l’école puissent trouver du plaisir à me suivre ! C’est un peu la consécration ultime !

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