Les nombres premiers sont-ils (presque) aléatoires ? Actu 2

Introduction sur les nombres premiers

Les nombres les plus mystérieux des mathématiques sont sans doute les nombres premiers. Un nombre premier est un nombre qui ne peut pas être le produit de deux nombres strictement plus petits, comme 11, mais pas comme 12 = 6·2. Comprendre ces nombres premiers représente surtout aujourd’hui encore l’une des plus intrigantes et les plus prestigieuses énigmes des mathématiques.

Pourquoi les nombres premiers sont-ils si importants ?

Pour commencer, les nombres premiers ont été étudiés dès l’Antiquité, il y a des millénaires. Pourtant de nombreuses questions toutes simples à leur sujet restent sans réponse. Par ailleurs, les nombres premiers se retrouvent au cœur de nombreux autres objets d’étude des mathématiques, comme celle des corps finis. Enfin, ils jouent un rôle central dans toutes les technologies du web, puisque sans la cryptographie qui repose sur la manipulation informatique de ces nombres premiers, il n’y aurait pas de Facebook, ni d’email sécurisé, ni d’achat en ligne.

OK… Tu peux donner un exemple de problème ouvert sur les nombres premiers ?

L’un des plus prestigieux problèmes ouverts dans l’étude des nombres premiers est celui qui porte sur les nombres premiers jumeaux. Une paire de nombres premiers jumeaux est une paire de nombres premiers séparés de deux unités. Par exemple, 5 et 7 sont premiers jumeaux, 17 et 19 sont premiers jumeaux et 39 et 41 sont premiers jumeaux (j’ai honte de ne même pas l’avoir remarqué au moment d’éditer la vidéo !). La conjecture des nombres premiers jumeaux postule l’existence d’une infinité de paires de nombres premiers jumeaux.

Et les experts pensent que c’est vrai ?

Bien qu’il n’en ait aucune preuve, les experts en théorie des nombres sont quasiment tous persuadés de la véracité de cette conjecture.

Attends… Ils n’ont pas de preuve mais ils en sont persuadés ? Je croyais les mathématiciens rationnels…

C’est surprenant non ? Et bien, il se trouve que les intuitions et les causes de ces intuitions jouent un rôle central dans la recherche mathématique. Or, le 11 mars 2016, de nouvelles observations numériques ont bouleversé la communauté mathématique, en suggérant une régularité dans les nombres premiers qu’aucun expert n’aurait imaginé probable ! Et j’aimerais vous parler brièvement de cette surprise…

Les modèles aléatoires

Depuis les travaux de Gauss et Riemann, beaucoup de mathématiciens se sont mis à utiliser un modèle aléatoire des nombres premiers. De façon grossière, Gauss a donné des résultats numériques pour suggérer qu’un nombre aléatoire $n$ avait environ une probabilité $1/\ln n$ d’être premier, où $\ln n$ est le logarithme népérien de $n$. C’est à peu près 1.4 fois le nombre de chiffre de $n$ écrit en base 2.

Attends… Les nombres premiers sont déterministes, non ?

Oui. Pourtant, il se trouve que ce modèle aléatoire de Gauss est excellent pour guider notre intuition sur les nombres premiers. Ainsi, entre autre, il prédit l’existence d’une infinité de nombres premiers, et même le nombre $\pi(n)$ de nombres premiers plus petit que $n$. Gauss émet alors la conjecture $\pi(n) \sim n/\ln n$. Cette conjecture fut prouvée presque un siècle plus tard, et est connue sous le nom de théorème des nombres premiers.

Laisse-moi deviner. Le modèle aléatoire de Gauss prédit aussi la conjecture des nombres premiers jumeaux ?

Exactement. En effet, la probabilité qu’une paire de nombres $(n,n+2)$ soit une paire de nombres premiers dans le modèle de Gauss est environ $1/(\ln n)^2$. Du coup, le nombre de paires de nombres premiers jumeaux plus petit que $n$ est alors environ $n/(\ln n)^2$. Quand $n$ tend vers l’infini, on obtient alors un nombre infini de paires de nombres premiers jumeaux.

Cool ! Il y a d’autres conjectures que le modèle de Gauss permet de prédire ?

Oui ! On peut par exemple se poser la question des derniers chiffres des nombres premiers. Clairement, en dehors de 2 ou 5, les derniers chiffres des nombres premiers sont forcément 1, 3, 7 ou 9. Mais comme il n’y a pas plus de raison qu’un nombre premier finisse par 1 que par 3, le modèle aléatoire de Gauss (ou une version un poil plus sophistiqué de celui-ci) nous amène à prédire qu’il y a autant de nombre premiers qui finissent par 1 que de nombres premiers qui finissent par 3. En fait, ceci aura été prouvé plus tard, d’abord dans une version faible par Dirichlet, puis ensuite dans sa version générale. Ce qui conduira à confirmer la pertinence du modèle aléatoire des nombres premiers…

La découverte récente

La découverte récente concerne les derniers chiffres des nombres premiers consécutifs. A priori, si l’on en croît le modèle de Gauss, les transitions $1 \rightarrow 1$, $1 \rightarrow 3$, $1 \rightarrow 7$ et $1 \rightarrow 9$ des derniers chiffres entre deux nombres premiers consécutifs sont toutes équiprobables. Ou presque. En effet, imaginons qu’on ait un nombre premier $n$ dont le dernier chiffre est 1. Les quatre prochains candidats à la primalité finissent alors par un 3, un 7, un 9 ou un 1. Or, parce que le candidat qui finit par un 3 vient juste après, il lui suffit d’être premier pour être le nombre premier qui vient juste après $n$. À l’inverse, pour que le candidat qui finit par un 1 soit le nombre premier qui vient juste après $n$, il faut non seulement qu’il soit premier, mais aussi que les trois autres candidats soient tous non premiers. Cet argument montre que, tant que $n$ n’est pas gigantesque, la transition $1 \rightarrow 1$ devrait être plus rare que la transition $1 \rightarrow 3$.

Et que dit la découverte ?

Elle dit exactement ça. À partir d’une analyse numérique, Lemke Oliver et Soundararajan ont montré que, en tout cas quand on se restreint aux premiers 1 million de nombres premiers, les transitions entre mêmes derniers chiffres, comme $1 \rightarrow 1$, sont beaucoup plus rares que celles entre derniers chiffres différents. Mais elle dit que cet effet est beaucoup plus important que ce que mon argument ci-dessus prédit. L’effet n’est en fait pas très visible en base 10, mais il est monstrueux en base 2. Beaucoup plus que ce que les modèles aléatoires à la Gauss prédisent. Or, les intuitions des théoriciens des nombres reposent fortement sur ces modèles. Remettre complètement en cause ces modèles comme c’est le cas ici, c’est aussi remettre fortement en cause les intuitions des théoriciens. Et ça, les théoriciens des nombres adorent ça ! C’est un peu le rêve de tout théoricien.

Et du coup, faut-il abandonner tous les modèles aléatoires des nombres premiers ?

Non. En fait, Lemke Oliver et Soundararajan ont su expliqué leurs observations numériques à l’aide d’un modèle aléatoire des nombres premiers plus sophistiqué, qui repose sur la conjecture $k$-tuple, aussi appelée première conjecture de Hardy-Littlewood. Fixons une suite de nombres pairs, comme $(2,8,22)$. La conjecture $k$-tuple donne alors la probabilité (ou la fréquence pour en faire une version formelle possiblement vraie) que la suite $n$, $n+2$, $n+8$ et $n+22$ n’est faite que de nombres premiers. On parle parfois poétiquement de constellation de nombres premiers.

Et ça, ça n’impliquerait pas la conjecture des nombres premiers jumeaux par hasard ?

Bien vu ! En effet, si on prend seulement seulement la suite de nombre pair faite du nombre $2$ uniquement, la conjecture $k$-tuple donne la probabilité à laquelle $n$ et $n+2$ sont tous les deux premiers. Autrement dit, elle parle du nombre de nombres premiers jumeaux. En particulier, elle implique qu’il existe un nombre infini de nombres premiers jumeaux. Autant dire que la conjecture $k$-tuple est l’un des plus prestigieux problèmes ouverts d’aujourd’hui…

Conclusion

Ce que je trouve amusant dans cette histoire, c’est l’approche « scientifique » de la théorie des nombres premiers. D’ordinaire, les mathématiques consistent surtout à énoncer des conjectures, et à en chercher des preuves. Ici, beaucoup d’efforts consistent à construire un modèle clairement faux des nombres premiers, mais dont on espère déduire de nombreuses intuitions ou conjectures. Plus étonnant encore, à travers des observations numériques ou à partir de conjectures non prouvées (des espèces de « théories scientifiques), on cherche à rejeter ou à confirmer les modèles pourtant clairement faux. Dans notre cas, l’observation de Lemke Oliver et Soundararajan rejètent les modèles aléatoires naïfs « à la Gauss », et confirment les modèles aléatoires fondés sur la conjecture $k$-tuple. En particulier, les mathématiciens croient maintenant plus que jamais en la première conjecture de Hardy-Littlewood.

Est-ce qu’il y a une deuxième conjecture de Hardy-Littlewood ?

Oui. Cette conjecture dit qu’il y a plus de nombre premiers parmi les $n$ premiers nombres, que dans n’importe quelle autre suite de $n$ nombres consécutifs. Autrement dit, on a toujours $\pi(n+m) \leq \pi(n)+\pi(m)$. Et ce qui est marrant, c’est que cette deuxième conjecture est incompatible avec la première…

Laisser un commentaire

Votre adresse de messagerie ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *