Les mathématiques de la relativité générale

Vous avez trouvé ça dur à suivre ? Mauvaise nouvelle, ici, je vais aller encore un peu plus loin, en formalisant certains concepts importants (mais pas tous)…

L’espace-temps

Comme j’ai pu avoir laissé entendre dans la vidéo, les tenseurs sont des objets fondamentaux qui sont indépendants de la carte dans laquelle on représente un espace-temps. Je m’en vais ici proposer une description un peu plus rigoureuse que ce qui j’ai pu avoir dit dans la vidéo, sans toutefois être parfaitement rigoureux…

OK… donc tu vas enfin définir rigoureusement les espaces-temps courbes ?

Oui ! Enfin ! Un espace-temps courbe est ce que l’on appelle une variété riemannienne avec une signature (+,-,-,-). Mais on ne peut parler directement de variété riemannienne. Il nous faut y aller par étapes.

C’est quoi la première étape ?

Le niveau zéro consiste à dire qu’une variété riemannienne est un ensemble de points. Dans le cas de l’espace-temps, il s’agit de l’ensemble des lieus et des moments dans l’univers. Rien que ça ! Mais de façon plus abstraite, on commence tout simplement par considérer un ensemble de points $\mathcal E$.

Jusque là, ça va. C’est quoi la première étape ensuite ?

La première étape consiste à rendre cet ensemble de points topologique. Ça, ça veut dire que l’on définit un ensemble d’ouverts, c’est-à-dire de sous-ensembles de points tels que, intuitivement, tout point de l’ensemble est « strictement » dans l’ensemble. D’un point de vue formel, l’ensemble de ces ouverts doit être un ensemble de sous-ensemble qui vérifie certaines propriétés, comme le fait que l’union de deux ouverts doit être un ouvert. Je vous invite à aller voir wikipedia pour en savoir plus. Ces ouverts permettent d’introduire le concept de « localité », qui permet ensuite de définir la continuité des fonctions qui agissent sur l’espace topologique.

Et ça sert à quoi, cette linéarité ?

On peut maintenant définir les trajectoires (continues) à travers l’espace topologique ! Une telle trajectoire est une fonction continue $\gamma : \mathbb R \rightarrow \mathcal E$. Et comme vous le devinez, c’est un concept super utile, notamment quand il s’agit d’étudier les géodésiques de l’espace-temps.

OK… Et ensuite ?

Il faut ensuite que le voisinage immédiat de tout point de l’espace topologique ressemble à un espace plat $\mathbb R^n$. En termes techniques, ceci revient à dire que, pour tout point, il existe un ouvert contenant ce point et un homéomorphisme (c’est-à-dire une bijection continue à réciproque continue) entre cet ouvert et un ouvert de $\mathbb R^n$. Ceci fait de notre espace topologique une variété topologique. On avance !

C’est quoi, l’étape suivante ?

L’étape suivante est d’en faire une variété différentiable. La différentiabilité de la variété est ensuite définie en terme de « compatibilité entre les homéomorphismes ». Plus précisément, une variété est $\mathcal C^k$ si toutes les compositions $\varphi_1 \circ \varphi_2^{-1}$ sont toutes de classes $\mathcal C^k$ là où elles sont bien définies, pour tous homéomorphismes $\varphi_1$ et $\varphi_2$.

Et l’intérêt de tout ça ?

On peut maintenant parler de trajectoire différentiable ! En particulier, une trajectoire $\gamma$ a maintenant en tout point une dérivée $\dot \gamma$. Et plus généralement, l’ensemble des dérivées d’une trajectoire qui passe par un point $P$ de l’espace forme ce que l’on appelle l’espace tangent $\mathcal T_P(\mathcal E)$. Il s’agit, en un certain sens, dans l’ensemble des directions à travers l’espace que l’on peut prendre à partir du point $P$.

Super ! On a quasiment tout ce qu’il nous faut pour définir l’espace-temps, non ?

Il ne manque qu’un truc ! Il s’agit du tenseur métrique $\bf g$. Pour les variétés géométriques classiques, ce tenseur mesure les dimensions de l’espace. En relativité générale, ce tenseur va nous permettre justement de mesurer le temps propre, ou, plus généralement, les intervalles d’espace-temps. Autrement dit, il va nous donner le rythme du temps, et les variations du rythmes du temps qui révèlent notamment la dilatation du temps. Ainsi, étant donné un vecteur $\dot \gamma$ qui décrit la direction à travers l’espace-temps à un point donné selon la trajectoire $\gamma$, on peut mesurer l’intervalle d’espace-temps une fois ce vecteur parcouru, en calculant ${\bf g}(\dot \gamma, \dot \gamma)$. Plus formellement, le tenseur métrique $\bf g$ est alors une forme bilinéaire sur les espaces tangents. En particulier, pour un point $P$ donné, il s’agit d’une forme bilinéaire ${\bf g} : \mathcal T_P(\mathcal E) \times \mathcal T_P(\mathcal E) \rightarrow \mathbb R$.

Et cette forme bilinéaire doit ressembler à l’espace-temps de Minkowski ?

Oui ! Ceci veut dire que, pour tout espace tangent $\mathcal T_P(\mathcal E)$, il doit exister quatre vecteurs $\vec e_t, \vec e_x, \vec e_y$ et $\vec e_z$ tels que ${\bf g} (\alpha_t \vec e_t + \alpha_x \vec e_x + \alpha_y \vec e_y + \alpha_z \vec e_z, \alpha_t \vec e_t + \alpha_x \vec e_x + \alpha_y \vec e_y + \alpha_z \vec e_z) = \alpha_t^2 – \alpha_x^2 – \alpha_y^2 – \alpha_z^2$.

Et le tenseur de Riemann dans tout ça ?

Avant de parler du tenseur de Riemann, il me faut vous parler des formes linéaires. Une forme linéaire est une application linéaire $\mathcal T_P(\mathcal E) \rightarrow \mathbb R$. Typiquement, étant donnée une base $\vec e_t$, $\vec e_x$, $\vec e_y$, $\vec e_z$ (adaptée ou non au tenseur $\bf g$), on peut déterminer les coordonnées d’un vecteur $\vec u$ de l’espace tangent, en écrivant $\vec u = \underline{e^t}(\vec u) \vec e_t + \underline{e^x}(\vec u) \vec e_x + \underline{e^y}(\vec u) \vec e_y + \underline{e^z}(\vec u) \vec e_z$. Les fonctions $\underline{e^t}, \underline{e^x}, \underline{e^y}$ et $\underline{e^z}$ sont alors des formes linéaires. En fait, elles forment une base de l’espace vectoriel des formes linéaires en $P$, que l’on dénote $\mathcal T_P^* (\mathcal E)$.

OK… Et le tenseur de Riemann dans tout ça ?

En tout point $P$, le tenseur de Riemann est une fonction quadrilinéaire ${\bf Riem} : \left( \mathcal T_P(\mathcal E) \right)^3 \times \mathcal T_P(\mathcal E) \rightarrow \mathbb R$. Techniquement, cette quadrilinéarité revient à dire que le tenseur s’applique au produit tensoriel de $\mathcal T_P(\mathcal E)$, $\mathcal T_P(\mathcal E)$, $\mathcal T_P(\mathcal E)$ et $\mathcal T_P^*(\mathcal E)$. Comme ceci est vrai en tout point $P$, on dit que le tenseur de Riemann est un champ tensoriel. On rajoute qu’il est de type $1 \choose 3$, car ses entrées sont trois champs vectoriels et un champ de formes linéaires.

Et le tenseur de Riemann se déduit du tenseur métrique, c’est ça ?

Oui. Exactement. Comme je l’ai dit dans la vidéo, le plus simple pour calculer le tenseur de Riemann à partir du tenseur métrique, c’est d’utiliser une carte de la variété géométrique $\mathcal E$. Cependant, de façon abstraite et dans le cas général, on utilise un objet mathématique abstrait appelé la connexion de Levi-Civita $\nabla$. Comme son symbole le suggère, cette connexion ressemble à un opérateur différentiel. De façon intuitive $\nabla_{\vec u} \vec v$ correspond à effectuer un transport parallèle du vecteur $\vec v$ dans la direction $\vec u$. Cette connexion est ensuite compatible avec la métrique si $\nabla {\bf g} = 0$ et est sans torsion.

Malheureusement, c’est là que je m’arrête dans les explications, car pour être plus rigoureux, il faudrait parler de champ scalaire et vectoriel, et étudier les variations du champ scalaire le long des déplacements dictés par les champs vectoriels. Et ça, ça devient plus compliqué.
Et on peut déduire le tenseur de Riemann de la connexion de Levi-Civita ?

Oui. En appliquant notamment ce dont j’ai parlé dans la vidéo. Sous certaines hypothèses que je n’expliciterai pas ici pour rester simple, le tenseur de Riemann est la différence entre effectuer un transport parallèle selon $\vec v$ puis $\vec u$, par opposition à l’effectuer selon $\vec u$ puis $\vec v$. On peut ainsi écrire ${\bf Riem} (\vec u, \vec v) = \nabla_{\vec u} \nabla_{\vec v} – \nabla_{\vec v} \nabla_{\vec u}$.

Pour aller plus loin, malheureusement, il va vous falloir lire un vrai cours de relativité générale… Comme celui d’Éric Gourgoulhon.

Solution de Schwarzschild

La solution de Schwarzschild est le tenseur métrique (diagonal) $g_{\alpha \beta} dx^\alpha dx^\beta = \left(1-\frac{R_S}{r}\right) c^2 dt^2 – \left(1-\frac{R_S}{r}\right) ^{-1} dr^2 – r^2 (d\theta^2 + sin^2 \theta d\varphi^2)$.

Les symboles de Christoffel non nuls sont les suivants :
$$\Gamma^t_{rt} = \Gamma^t_{tr} = \frac{R_S}{r^2} \left( 1 – \frac{R_S}{r} \right)^{-1},$$
$$\Gamma^r_{tt} = c^2 \frac{R_S}{2r^2} \left( 1- \frac{R_S}{r} \right), \quad
\Gamma^r_{rr} = – \frac{R_S}{2r^2} \left( 1- \frac{R_S}{r} \right)^{-1}, \quad
\Gamma^r_{\theta \theta} = – r \left( 1- \frac{R_S}{r} \right), \quad
\Gamma^r_{\varphi \varphi} = – r \sin^2 \theta \left( 1- \frac{R_S}{r} \right),$$
$$\Gamma^\theta_{r \theta} = \Gamma^\theta_{\theta r} = 1/r, \quad
\Gamma^\theta_{\varphi \varphi} = – \cos \theta \sin \theta,$$
$$\Gamma^\varphi_{r \varphi} = \Gamma^\varphi_{\varphi r} = 1/r, \quad
\Gamma^\varphi_{\theta \varphi} = \Gamma^\varphi_{\varphi \theta} = 1 / \tan \theta,$$

On peut utiliser ces symboles de Christoffel pour calculer l’accélération que l’on subit à la surface de la Terre, ou qu’un être subirait s’il voulait rester au dessus d’un trou noir. Ce mouvement correspondrait à garder une valeur de $r$ constante, en se mouvant dans la direction $\vec e^t$. Cette trajectoire correspond donc à suivre la direction du vecteur unitaire $\vec h = \left(c^{-1} \left( 1- \frac{R_S}{r} \right)^{-1}, 0, 0, 0 \right)$. Comparons ce vecteur unitaire au géodésique $\vec u (\tau)$ d’une pomme paramétré par son temps propre, qu’on laisserait suivre un géodésique de l’espace-temps. À l’instant initial, la pomme se trouve au même endroit dans l’espace-temps, avec un déplacement identique, i.e. $\vec u (\tau = 0) = \vec h$. L’équation des géodésiques $\frac{du^\alpha}{d\tau} = – c \Gamma^\alpha_{\mu \nu} u^\mu u^\nu$ et les symboles de Christoffel ci-dessus nous disent alors que la seule composante de $\vec u$ qui varie au premier ordre après un bref instant $d\tau$ est la coordonnée radiale. En utilisant aussi l’égalité $R_S = 2GM/c^2$, on a alors
$$\frac{du^r}{dt} = – c \Gamma^r_{tt} u^t u^t = – \frac{cR_S}{2r^2} = – \frac{GM}{cr^2}.$$
Autrement dit, au premier ordre, on a $\vec u(d\tau) = \left(c^{-1} \left( 1- \frac{R_S}{r} \right)^{-1}, – \frac{GM}{cr^2}d\tau, 0, 0 \right)$. Pour conclure, il nous suffit désormais de calculer « l’angle » entre les vecteurs $\vec u(d\tau)$ et $\vec h$, qui nous donnera ensuite la vitesse relative $dv$ entre la pomme et nous qui sommes en accélération après un bref temps $d\tau$. Pour ce faire, il faut que je vous dise que le produit scalaire normalisé $\frac{\vec u(d\tau) \cdot \vec h}{|| \vec u(d\tau) || || \vec h||}$ est égal au facteur de Lorentz $\gamma$, qui s’écrit aussi $(1-v(d\tau)^2/c^2)^{-1/2}$, où $v(d\tau)$ est la vitesse relative entre les deux vecteurs (je rappelle que le produit scalaire est celui qui se déduit du tenseur métrique $g_{\alpha \beta}$. Après quelques calculs, on obtient finalement
$$v(d\tau) = c \sqrt{1-\frac{||\vec u(d\tau)||^2 ||\vec h||^2}{(\vec u(d\tau) \cdot \vec h)^2}} = \left( 1- \frac{R_S}{r} \right)^{-1/2} \frac{GM}{r^2} d\tau$$.
Autrement dit, l’accélération que doit avoir un objet pour rester à une distance constante $r$ d’une masse centrale $M$ est égale à $\left( 1- \frac{R_S}{r} \right)^{-1/2} \frac{GM}{r^2}$. Dans le cas non-relativiste où $r \gg R_S$, on retrouve bien l’accélération associée à la pesanteur newtonienne. Tout va bien ! Mais dans le cas où $r$ est comparable à $R_S$, comme près d’un trou noir, l’accélération requise pour rester à une distance constante du trou noir (et donc ne pas tomber dedans) devient tout à coup monstrueuse, puisqu’elle tend même vers l’infini au niveau de l’horizon des événements. David Louapre a aussi parlé de tout ceci dans ce billet sur Science Étonnante.

On en déduit les coefficients du tenseur de Riemann non nuls :
$$R^r_{trt} = – c^2 \frac{R_S}{r^3} \left( 1 – \frac{R_S}{r} \right), \quad
R^\theta_{t \theta t} = c^2 \frac{R_S}{2r^3} \left( 1- \frac{R_S}{r} \right), \quad
R^\varphi_{t \varphi t} = c^2 \frac{R_S}{2r^3} \left( 1- \frac{R_S}{r} \right),$$
$$R^t_{rtr} = \frac{R_S}{r^3} \left( 1 – \frac{R_S}{r} \right)^{-1}, \quad
R^\theta_{r \theta r} = – \frac{R_S}{2r^3} \left( 1 – \frac{R_S}{r} \right)^{-1}, \quad
R^\varphi_{r \varphi r} = – \frac{R_S}{2r^3} \left( 1 – \frac{R_S}{r} \right)^{-1},$$
$$R^t_{\theta t \theta} = – \frac{R_S}{2r}, \quad
R^r_{\theta r \theta} = – \frac{R_S}{2r}, \quad
R^\varphi_{\theta \varphi \theta} = \frac{R_S}{r},$$
$$R^t_{\varphi t \varphi} = – \frac{R_S}{2r} \sin^2 \theta, \quad
R^r_{\varphi r \varphi} = – \frac{R_S}{2r} \sin^2 \theta, \quad
R^\theta_{\varphi r \varphi} = \frac{R_S}{r} \sin^2 \theta.$$
On vérifie aisément que la somme des termes de chaque ligne est nulle, ce qui revient à dire que le tenseur de Ricci est nul. Et ça prouve au passage que la métrique de Schwarzschild est bien solution des équations d’Einstein dans le vide.

Si l’on place deux pommes espacées d’un mètre verticalement, elles s’éloigneront l’une de l’autre avec une accélération de $(1 metre) \times |R^r_{trt}| \approx 3\cdot 10^{-6} m \cdot s^{-2}$, ce qui est des millions de fois moindre que l’accélération du sol vers le haut ! Autrement dit, il faudrait 3 jours pour détecter un mouvement relatif d’un mètre par seconde.

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