Les cartes du monde | Relativité 11

Conformité

Historiquement, une fonction conforme était une carte telle que toute petite région de la Terre est associée à une petite région de la carte quasiment à l’échelle — mais l’échelle varie selon la région, comme vous pouvez le constater en vous déplaçant sur de longues distances nord-sud sur Google Map. C’est bien ce que l’on a démontré avec les images de l’île de Bornéo. Les mathématiciens se sont ensuite rendus compte que cette condition était équivalente à dire que les angles étaient conservés.

Tout ça, c’est pas super rigoureux…

Oui, en effet. Dans le formalisme moderne, ce qui permet de définir à la fois les distances et les angles en géométrie, c’est le produit scalaire. En géométrie euclidienne, le produit scalaire est « le même » partout. Mais sur des cartes ou en géométrie non-euclidienne, ce produit scalaire peut varier d’une région à l’autre. Une transformation entre deux cartes est conforme si toute région de la première carte a « le même produit scalaire » que toute autre région de la seconde carte.

Et t’avais parlé d’un lien avec l’hypothèse de Riemann…

Oui. L’analyse complexe permet plus facilement de parler de transformation conforme. Une fonction complexe $f : \mathbb C \rightarrow \mathbb C$ est dérivable au sens complexe si, localement, $f$ est affine, i.e. $f(z+h) = f(z) + hf'(z) + o(h)$, où $f'(z)$ est la dérivée de $f$ en $z$. C’est une définition un poil technique, mais qui généralise très naturellement la définition de la dérivabilité des fonctions réelles. Ce qui importe, c’est que si l’on oublie les ordres supérieurs, une fonction dérivable au sens complexe est telle que toute déplacement de $z$ à $z+h$ dans la carte initiale, induit un déplacement de $f(z)$ à $f(z)+h f'(z)$ dans la seconde carte. Autrement dit, un déplacement de $h$ dans la première carte induit un déplacement de $h f'(z)$ dans la seconde. Or $f'(z)$ est un nombre complexe, et multiplier par un nombre complexe, c’est appliquer une rotation et une homothétie au plan complexe. Ces transformations géométriques préservent les angles. Du coup, deux déplacements $h_1$ et $h_2$ orthogonaux dans la première carte vont induire deux déplacements $h_1 f'(z)$ et $h_2 f'(z)$ dans la seconde : une fonction dérivable au sens complexe, aussi appelée holomorphe, est une transformation conforme !

Et le lien avec Riemann ?

Riemann est avant tout un géomètre. Mais il a aussi compris que l’analyse complexe avait d’autres applications que la géométrie. En particulier, une propriété importante de l’analyse complexe est de ne permettre qu’un seule prolongement holomorphe. Riemann s’est donc rendu compte que la fonction $\zeta$ (prononcée zéta) sur laquelle Euler s’était déjà planché pour étudier les nombres premiers pouvait être prolongée de façon holomorphe d’une et d’une seule manière. Riemann en est ensuite venu à postuler une propriété fondamentale de la fonction $\zeta$ (qui dit que tous ses zéros non triviaux ont une partie réelle égale à 1/2), qu’il relia à des propriétés fondamentales de la distribution des nombres premiers. C’est ce que raconte El Jj ci-dessous :

Theorema Egregium

Le théorème phare de Gauss est le theorema egregium, qui vient du latin et signifie « théorème remarquable ». Ce théorème dit que la géométrie des angles et des droites d’une surface était parfaitement caractérisable par des mesures faites à l’intérieur de la surface. Autrement dit, toute géométrie extrinsèque peut être étudiée par une géométrie intrinsèque. Il aura fallu 1956 et le théorème de Nash pour pouvoir affirmé l’inverse : toute géométrie intrinsèque est une géométrie extrinsèque.

Et, plus formellement, ça donne quoi ?

Encore une fois, ce qui importe, ce sont les angles et les distances… Et il suffit en particulier de déterminer les distances pour ensuite déterminer les angles. En effet, rappelons que $||u+v||^2 = ||u||^2 + ||v||^2 + 2u\cdot v$. Du coup, l’angle $\theta$ entre $u$ et $v$ est donné par $cos \theta = \frac{u \cdot v}{||u|| \, ||v||} $=$ \frac{||u+v||^2-||u||^2-||v||^2}{2||u|| \, ||v||}$. Les détails importent peu. Ce qu’il faut retenir, c’est que les distances suffisent à déterminer la géométrie d’un espace. En particulier, deux surfaces sur lesquelles les distances sont « les mêmes » ont « la même géométrie».

Techniquement, considérons deux surfaces $S$ et $T$. Ces deux surfaces ont la même géométrie s’il existe une isométrie $f : S\rightarrow T$, c’est-à-dire une bijection qui préserve les distances. Autrement dit, la distance entre deux points de $S$ est égale à la distance entre leurs images dans $T$, i.e. $f(d_S(x,y)) = d_T(f(x),f(y))$.
Et le lien avec le théorème de Gauss ?

Ce que Gauss prouva, c’est que deux surfaces avec la même géométrie ont les mêmes courbures. En dimension 2, pour des surfaces donc, cette courbure est une fonction qui, en tout point, dit si la surface autour de ce point ressemble plutôt à une petite sphère, une grande sphère, un plan euclidien, une surface un peu hyperbolique ou une surface très hyperbolique.

Et c’est quoi, la courbure ?

Gauss proposa plein de manières de définir la courbure. Une façon de faire consiste à regarder la manière dont la somme des angles d’un triangle autour du point augmente, lorsque le triangle augmente. Si cette somme croît très vite, alors la géométrie est localement très sphérique. Si elle décroît très vite, alors la géométrie est localement très hyperbolique.

Angles and Curvature

Une autre approche un poil plus rigoureuse correspond à étudier la manière dont le périmètre d’un cercle autour du point augmente, lorsque le rayon du cercle augmente. Si le périmètre croît moins vite que linéairement, alors la géométrie est localement sphérique. S’il croît exponentiellement, alors la géométrie est localement hyperbolique.

Et, formellement, la courbure, c’est combien exactement ?

C’est compliqué… En géométrie extrinsèque, toute surface peut être localement approximée par une paraboloïde ou une hyperboloïde. La meilleure approximation donne deux directions de courbures unidimensionnelles extrêmes. La courbure de la surface en un point est le produit de ces deux courbures dites principales. En géométrie intrinsèque, la géométrie est définie par des produits scalaires locaux. Un produit scalaire $g$ est donc là une forme bilinéaire. Si on dispose de deux directions $dx$ et $dy$ normales autour d’un point, la courbure peut être définie par $K = -\frac{1}{2} \left( \partial_{yy}^2 g_{xx} + \partial_{xx}^2 g_{yy} \right)$.

J’ai rien compris…

C’est normal. Comme je l’ai dit, tout ceci est vraiment compliqué.

Lignes droites

Les lignes droites sont parfois appelées géodésiques, notamment en géométrie riemannienne. Pour bien en parler, il me faut d’abord parler d’espaces tangents.

C’est quoi, un espace tangent ?

Je ne l’ai pas encore dit jusque là, mais la géométrie non-euclidienne, c’est une géométrie « presque » euclidienne. Par opposition à la géométrie « fractale », en géométrie non-euclidienne, lorsque l’on zoome suffisamment autour d’un point, on obtient une surface (ou, en dimensions supérieures, un espace) qui a parfaitement l’air euclidien. C’est le cas notamment à la surface de la Terre. Et pourtant, même si la Terre peut nous sembler « plate » à notre échelle, elle est en fait ronde…

L’approximation euclidienne autour d’un point est appelée l’espace (ou, en dimensions 2, le plan) tangent. Sur chaque plan tangent, le concept de droite est parfaitement bien défini, puisque l’on se retrouve dans le cadre de la géométrie euclidienne. La difficulté, toutefois, c’est de « connecter » les différents espaces tangents, de sorte à former une géométrie globale (qui pour le coup, elle, sera vraiment non-euclidienne). Cette connection se fait à l’aide d’un opérateur mathématique un peu compliqué appelé la connection affine. C’est cette connection affine qui définit le transport parallèle.

Étant donné un espace tangent $\mathcal E$, une direction de déplacement $u$, et un déplacement $v$ vers un autre plan tangent, la connection affine renvoie la variation de la direction $u$ de déplacement lorsque l’on s’éloigne de l’espace tangent selon le déplacement $v$. Cette application est bilinéaire. On l’appelle un tenseur (2,1), car il prend compte de 2 vecteurs dans $\mathcal E$, et renvoie un vecteur. Qui plus est, intuitivement, cette connection affine nous dit si deux direction $u \approx u’$ vont avoir tendance à se rapprocher ou à s’éloigner, notamment lorsque l’on se déplace selon $v \approx u \approx u’$. Si ces directions se rapprochent, on va être en géométrie plutôt sphérique. Et sinon, il s’agira de géométrie plutôt hyperbolique. En dimension 2, ce sera forcément l’un ou l’autre (ou courbure nulle), mais en dimensions supérieures, il se peut très bien que la géométrie soit sphérique dans une direction et hyperbolique dans une autre…
Et donc, cette connection affine dit que les droites de la sphère sont ses grands cercles ?

Oui ! Pour voir ceci, reconsidérons les parallèles de la Terre. Dans l’hémisphère nord, si on va d’est en ouest, on doit tourner constamment à droite pour suivre le parallèle. Dans l’hémisphère sud, on doit tourner constamment à gauche. Dans les deux cas, on ne va pas droit. Le seul parallèle qui correspond à garder une direction de mouvement constante est donc celui qui correspond à l’équateur. Or l’équateur est un grand cercle ! En fait, ce raisonnement s’applique à toute direction initiale choisie. Si au lieu d’aller vers l’ouest, on prend une autre direction initiale, on obtient un autre grand cercle.

Et du coup, c’est quoi le lien avec la minimisation de distance ?

Tout d’abord une petite correction. Pour être bien rigoureux, il aurait fallu que je parle de minimisation ou maximisation locale de distance. Un géodésique est tel que si on prend deux points sur le géodésique, et si on modifie légèrement la trajectoire du géodésique entre ces deux points, alors une personne suivant la trajectoire du géodésique parcourra toujours moins (ou toujours plus) de distance qu’une personne suivant la trajectoire légèrement modifiée, peu importe la modification légère que l’on considère. Plus précisément, la dérivée de la longueur de la trajectoire entre deux points par rapport à des perturbations de la trajectoire est nulle pour les géodésiques. Ce principe peut donc être mis en équations à l’aide de l’analyse variationnelle, et conduit aux équations d’Euler-Lagrange. Il se trouve que ces équations sont équivalentes à l’utilisation de la connection affine !

D’ailleurs, si vous prenez deux points proches sur la sphère, alors il existe deux morceaux de droite qui lient ces deux points. L’un est le plus court chemin, et l’autre est l’autre morceau du chemin qui fait tout le tour de la Terre. Ce deuxième morceau n’est ni un minimum local, ni un maximum local, mais il s’agit d’un géodésique tout de même ! D’une part, parce que la connection affine l’affirme. Et d’autre part, parce que la dérivée de la longueur du trajet par rapport à des petites perturbations du chemin est nulle. Cet autre géodésique est en fait un point selle de la fonction qui à un chemin associe la longueur de chemin.
Mais pourquoi les autres vulgarisateurs ne parlent que de cette minimisation de distance ?

D’une part, c’est sans doute un peu plus simple à expliquer. Mais, surtout, le fait que les géodésiques minimisent des distances rend la manipulation algébrique de ces géodésiques beaucoup plus facile ! Ainsi, pour déterminer la trajectoire d’une planète, on peut faire un petit coup d’analyse variationnelle et le tour est joué (moyennant quelques calculs délicats…). Ce principe est devenu un incontournable de la physique, bien au-delà du calcul de géodésique, comme l’explique Thomas Cabaret dans cette vidéo de Passe-Science :

Oki… Mais pourquoi toi tu nous parles du transport parallèle ?

Parce que je trouve ça beaucoup plus satisfaisant intellectuellement. Quand on suit un chemin en ligne droite, on ne se dit pas que l’on prend un chemin le plus court entre deux points A et B. En fait, bien souvent, on ne sait même pas où l’on va, et on se contre-fout de là où on vient. Ou en tout cas, la lumière et les planètes s’en moquent complètement. Elles suivent des lignes droites non pas pour minimiser leur effort — même si cette satanée pensée aristotélicienne aime nous faire penser que les objets lourds « veulent » être en bas et que les atomes « cherchent » à minimiser leur état d’énergie. Elles suivent des lignes droites parce qu’elles gardent le direction de mouvement constante (une histoire de 1ère loi de Newton).

Et c’est pour ça que je pense qu’il faut arrêter de dire que les géodésiques sont des extrema locaux. Même si c’est (presque) vrai.

More on Science4All

La Géométrie Tortueuse du Tore Plat | Relativité 9 La Géométrie Tortueuse du Tore Plat | Relativité 9
By | Updated:2016-04 | Views: 24069

La Magie de l'Analyse La Magie de l'Analyse
By | Updated:2016-03 | Views: 173
Cet article retrace la poursuite sans fin de l'infini sur lequel repose toute l'analyse mathématique. Des premières approximations de pi à la forme de notre univers, des principes incontournables des équations différentielles aux propriétés troublantes des sommes infinies, nous présentons ici les grandes idées des plus grands génies mathématiques de l'Histoire.

More Elsewhere

Laisser un commentaire

Votre adresse de messagerie ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *