La Magie de l’Algèbre

En septembre 2014, j’ai réalisé un documentaire sur la magie des mathématiques des classes préparatoires. En voici le trailer :

Dans cet article, je vais raconter le premier épisode sur l’algèbre, avec quelques ajouts et retraits pour insister sur l’aspect historique. Et sur l’art d’oublier.

Al-jebr

Pour un étudiant, remplacer des nombres par des lettres symboliques peut sembler laborieux, surtout si, en bout de ligne, on finit par remplacer les lettres symboliques par des nombres. Les étudiants ne sont pas les seuls à butter sur cette difficulté. Pendant des milliers d’années, les plus grands intellectuels avaient eux aussi bien du mal à manipuler des notations abstraites. Et bien, aussi contre-intuitif que cela puisse paraître, cette difficulté à manipuler des notations abstraites est précisément la raison pour laquelle ils n’ont jamais pu bien comprendre les nombres. En particulier, tout nouveau problème était précisément ça : un nouveau problème. Et puis vint Al-Khwarizmi.

Al-Khwarizmi-fr

Qui est Al-Khwarzimi ?

Al-Khwarizmi était membre de la Maison de la Sagesse de Baghdad. Au coeur de la jeune civilisation Islamique, Baghdad était un centre économique. Les voyageurs venaient de l’est et de l’ouest avec de nouveaux biens à échanger. Parmi ces biens, il y avait le savoir mathématique et scientifique. Et Al-Khwarzimi était l’un des savants musulmans qui tira le plus parti de cette situation privilégiée. Mais Al-Khwarizmi n’était pas qu’un savant. Il était aussi et surtout un génie. Et il unifia brillamment tout le savoir des nombres à travers un formalisme magnifique : Al-jebr.

Al-jebr ? Tu veux dire l’algèbre ?

Al-jebr signifie « la réunion des parties séparées ». Voilà une jolie description des mathématiques : on cherche souvent à recoller des morceaux. Et au-delà de l’étymologie, l’idée géniale d’Al-Khwarizmi était d’introduire une méthode révolutionnaire pour adresser ce problème.

Et cette méthode, c’est…

En gros, la clé de l’al-jebr d’Al-Khwarizmi est l’utilisation systématique de l’abstraction pour généraliser des régularités. En fait, je dirais même que cette abstraction est le passage obligé vers la généralisation. Et ça, ça peut paraître bien étrange. Après tout, « abstraire » veut dire « oublier ». Mais alors, en quoi oublier aide-t-il à généraliser ?

Hummm… C’est troublant…

Voilà un exemple de l’utilité de l’oubli que j’ai introduit dans le documentaire :

L’exemple que je donne est un problème où une pomme plus 500 grammes pèsent autant que trois pommes plus 200 grammes. Pour résoudre ce problème, il peut être utile d’oublier que le problème parle de pomme, et de remplacer la masse de la pomme par un symbole générique comme $?$. On obtient alors l’équation $?+500$=$?+?+?+200$.

Ah oui, comme à l’école !

Prenons un exemple plus simple. Considérons l’équation $?-1=1$. Ce n’est pas très dur de voir que $2$ est solution de cette équation. Mais là où Al-Khwarizmi est très fort, c’est qu’il généralisa cette équation, en oubliant, par exemple, que cette équation inclut le nombre $1$.

Qu’est-ce que tu veux dire ?

En oubliant le nombre $1$, on peut alors réécrire l’équation sous la forme $?-*=*$. Sauf que, dès lors, on obtient une suite de symboles bizarroïdes et peu compréhensibles. Le génie d’Al-Khwarizmi était non seulement de comprendre l’incroyable potentiel de l’oubli, mais aussi de commencer à développer le langage pour ce faire. Ce langage est al-jebr, ou, en français, l’algèbre.

Comment ça marche ?

Pour oublier qu’un $1$ est un $1$, il suffit de le remplacer par un symbole abstrait plus lisible, comme la lettre symbolique $a$. En remplaçant $1$ par $a$, on obtient l’équation $?-a=a$. Qui plus est, le langage de l’algèbre nous permet aussi de distinguer les deux $a$, car il n’y a pas de bonne raison pour qu’il s’agisse du même $a$. Pour mettre ceci en évidence, on peut utiliser une autre lettre symbolique, disons $b$. Ceci nous amène à l’équation $?-a=b$. Enfin, par tradition, on aime remplacer l’inconnue $?$ par la lettre $x$. Et ça, ça vient d’Al-Khwarizmi, qui utilisait le mot shin pour signifier quelque chose. Les traductions européennes approximatives du mot shin ont ensuite donné la fameuse lettre $x$, comme l’explique Terry Moore à Ted :

En particulier, la volonté d’Al-Khwarizmi d’oublier et son langage de l’algèbre ont permis d’écrire et de résoudre les équations du premier degré $ax+b=c$, et du second degré $ax^2+bx+c=0$. Je suis sûr que vous avez déjà vu ces équations, et elles vous ont sans doute longtemps ennuyé. Heureusement, les mathématiques en général, et l’algèbre en particulier, ont beaucoup évolué depuis Al-Khawrizmi pour adresser des questions bien plus intrigantes ! Mais beaucoup des progrès en la matière reposent encore et toujours sur la fervente volonté d’oublier d’Al-Khwarizmi et son puissant langage qu’est l’algèbre.

Équations Cubiques et Quartiques

Malheureusement, les réflexions révolutionnaires d’Al-Khwarizmi étaient sans doute bien trop sophistiquées pour ses contemporains. Pis, la Maison de la Sagesse fut détruite suite à la chute de Baghdad en 1258 face à l’empire Mongole. L’al-jebr a alors bien failli disparaître. Heureusement, des siècles plus tard, Fibonacci importa les idées d’Al-Khwarizmi en Europe. Puis, au 16ème siècle, des européens comme Tartaglia, Cardano et Ferrari les ont réutilisés et amenés vers d’autres horizons.

Qu’est-ce qu’ils ont fait ?

L’histoire de ces génies est une histoire rocambolesque faite de rivalités et de tromperies – le genre d’histoires qui ferait un bon film Hollywoodien ! Pour commencer, à cette époque, les mathématiciens s’affrontaient en duels publiques.

Quoi ?

Héhé. Selon la tradition, de temps à autres, sur la place publique, deux mathématiciens se tenaient l’un en face de l’autre, jusqu’à ce qu’une troisième personne ne leur pose un défi mathématique. Le vainqueur du duel était alors le premier à répondre au défi.

Ça a l’air…

Oui ! Ça a l’air super génial !

J’allais dire super geek…

Euh… oui, je vois ce que tu veux dire… Bref, un défi typique était une équation du troisième degré comme $x^3-2x^2+5x=24$. Petit à petit, un bègue surnommé Tartaglia devint l’homme à battre. Et il avait l’air imbattable. Pourquoi ? Étrangement, ce n’est pas parce qu’il était particulièrement brillant. S’il était imbattable, c’était plutôt car il avait su résoudre tous les défis d’un coup et d’un seul !

Qu’est-ce que tu veux dire ?

En suivant les pas d’Al-Khwarizmi, Tartaglia oublia les nombres explicites de l’équation. Il s’attaqua, avec succès, directement à l’équation cubique généralisée $ax^3+bx^2+cx=d$. Mais il garda sa méthode secrète pour continuer en engranger ses succès sur la place publique ! Puis un jour, un certain Cardano apprit la brillante solution généralisée de Tartaglia. Tartaglia le pria de garder cette solution secrète. Cardano accepta. Enfin, au début.

Cardano l’a-t-il trahi ?

Le truc, c’est qu’en développant le raisonnement de Tartaglia, l’étudiant de Cardano, appelé Ferrari, réussit à résoudre les équations du 4ème degré de la forme $ax^4+bx^3+cx^2+dx=e$. Cardano s’est sans doute senti gêné de barrer son étudiant, juste à cause d’une promesse concernant un problème bien plus simple. Ou peut-être a-t-il compris l’importance historique de la découverte de Ferrari. Ou encore, peut-être craignait-il de se voir devancer par le livre indépendant et en voie de publication de Scipione del Ferro. Toujours est-il que Cardano trahit sa promesse faite à Tartaglia et publia, pour la première fois de l’Histoire, les solutions généralisées aux équations du 3ème et du 4ème degré.

Cardano fr

A-t-il au moins crédité Tartaglia?

Oui, il l’a crédité. Et il a crédité Ferrari aussi. Mais du coup, Tartaglia n’était plus le roi des duels. Ferrari l’avait surpassé. En étudiant les équations du 4ème degré, Ferrari avait atteint un bien meilleur niveau de compréhension des équations en général, ce qui lui permit en particulier de résoudre les équations cubiques encore plus vite. Quand il défia Tartaglia, Tartaglia ne se présenta pas. Tartaglia perdit tout crédit. Il mourut pauvre, triste et oublié. Aujourd’hui encore, la solution de l’équation du 3ème degré porte le nom de Cardano. Pas celui de Tartaglia.

Géometrie

Comme souvent en mathématiques, les premières extensions des idées d’Al-Khwarizmi étaient dans la lignée des premiers pas de l’algèbre. Grâce à Tartaglia, Cardano et Ferrari, toutes les équations de degré au plus 4 étaient maintenant résolues (même si elle reposait sur une astuce de calcul peu plaisante dont je reparlerai plus tard…). Mais, comme souvent en mathématiques, sur le long terme, les idées d’Al-Khwarizmi connurent des tournants inattendus…

Tu penses à quoi ?

Je pense à l’une des plus grandes unifications de l’Histoire des mathématiques, que l’on doit au mathématicien français René Descartes.

Descartes

Quelle unification ?

En gros, à l’époque de Descartes, il y avait deux mathématiques. Il y avait la géométrie d’Euclide et l’algèbre d’Al-Khwarizmi. L’éclair de génie de Descartes fut de comprendre que toutes deux n’étaient que deux faces d’une même pièce. Plus précisément, en introduisant un système de coordonnées dans le plan, les points du plan pouvaient dorénavant être localisés grâce à deux nombres, souvent appelés $x$ et $y$. De plus, Descartes montra qu’il existe un dictionnaire naturel qui permet de traduire les formes géométriques en équations algébriques, et vice-versa.

Par exemple, les ellipses, paraboles and hyperboles découvertes pendant l’Antiquité par Archimède correspondaient tout à coup à des équations à deux variables du second degré, de la forme $ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$. A posteriori, je trouve ça juste incroyable de penser que les formes géométriques d’Archimède correspondent exactement aux équations les plus simples. D’ailleurs, Mickaël Launay a fait une vidéo qui parle de ces courbes en parlant à peine d’algèbre !

En effet !

Plus généralement, l’union entre la géométrie and l’algèbre est appelée la géométrie algébrique ! Oui, on ne cherche pas à faire compliqué en maths ! Ce qui est génial, c’est que la géométrie algébrique dit que toute équation algébrique peut être résolue par des raisonnements géométriques, et vice-versa. Et c’est souvent très utile ! Par exemple, vous pouvez aller voir ma preuve (en anglais) que la primitive de 1/x est un logarithme, en étudiant seulement les propriétés des hyperboles.

Mais la géométrie algébrique est-elle encore utile aux mathématiciens aujourd’hui ?

Plus que jamais ! Puisque les équations du second degré à deux variables sont bien comprises, les mathématiciens étudient maintenant celles du 3ème degré, comme $y^2=x^3+ax+b$. Ces équations correspondent géométriquement à des courbes elliptiques (même si, cette fois, ce n’est pas une bonne terminologie). Ainsi, l’un des 7 problèmes à un million de dollars du Millenium, la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer, porte justement sur des propriétés de ces courbes elliptiques.

3ème degré seulement ? Je suis un peu déçu…

Comme quoi, aujourd’hui encore, on est encore super ignorant en mathématiques… Mais vous devriez jeter un oeil à l’incroyable arsenal qui est utilisé pour comprendre ces équations, qui repose notamment sur chercher à résoudre ces équations avec autre chose que des nombres réels. Pour commencer, les solutions dans le plan complexe sont beaucoup faciles à étudier. Mais les mathématiciens s’intéressent tout autant aux solutions rationnelles, aux solutions dans des extensions des nombres rationnels, dans des corps finis ou dans les corps des nombres p-adiques (ce qui conduit d’ailleurs certains géomètres à dire que la géométrie algébrique n’est plus vraiment de la géométrie…). Je sais que cette longue phrase a l’air incompréhensible. Mais restez avec moi, je vais y revenir un peu plus tard !

Nombres

À l’époque, René Descartes avait un grand rival, qui lui contestait le titre honorifique de plus grand génie de la France.

Qui était son rival ?

Pierre de Fermat. Pendant que Descartes construisaient les fondations de la géométrie algébrique, Fermat construisit celles de la théorie des nombres algébriques, et découvrit ainsi de nombreuses propriétés cachées des nombres.

Quoi comme propriété ?

Voici un exemple : un nombre premier est la somme de deux carrés si et seulement si le reste de leur division par 4 est 1, comme $5 = 1^2+2^2 $=$ 4+1$. C’est un résultat splendide car totalement inattendu. Pourquoi donc le fait d’être la somme de deux carrés aurait-il quelque chose à voir avec la division par 4 ? En utilisant l’algèbre Al-Khwarizmi et une fervente volonté d’oublier, entre autres, les valeurs particulières des nombres premiers, Fermat réussit à prouver que cette propriété cachée était bel et bien vraie pour tous les nombres premiers !

OK… Et ça sert à quoi ?

Les théoriciens des nombres se moquent pas mal des applications des propriétés des nombres. S’émerveiller devant la beauté de ces propriétés suffit à leur intellect. Et je dois dire que quand on a goûté à l’élégance des preuves, il est difficile de ne pas s’émerveiller à son tour ! Pourtant, et bien malgré eux, les propriétés qu’ils ont découvert ont fini par avoir des applications inattendues.

Vraiment ?

Oui ! Par exemple, Fermat avait remarqué que si l’on prend un nombre premier $p$ et un autre nombre $a$, alors le reste de la division euclidienne de $a^p$ par $p$ est toujours $a$. Des siècles durant, les théoriciens des nombres étaient heureux de simplement constater la véracité de ce fait, connu sous le nom du petit théorème de Fermat. Et inutile de dire que ce théorème semblait très éloigné de toute application…

Mais ?

Mais dans les années 1970, Ron Rivest, Adi Shamir et Leonard Adleman ont trouvé une façon d’exploiter cette propriété des nombres pour concevoir un système de cryptographie, appelé RSA. Aujourd’hui, le système RSA est très utilisé par les banques et le web, pour s’assurer que les informations privées restent privées, et que les transferts monétaires ne se font pas interceptés. Pour un rapide passage en revue des méthodes classiques de cryptographie, je vous invite à visionner cette vidéo de David Louapre sur Science Étonnante :

Mais le théorème de Fermat le plus troublant est un autre théorème. Dans son carnet, Fermat avait affirmé que l’équation $x^n+y^n=z^n$ n’a aucune solution en nombres entiers, lorsque $n \geq 3$. Aujourd’hui, cette assertion est connue sous le nom de « dernier théorème de Fermat » (ou plutôt théorème de Fermat-Wiles). Ce problème est particulièrement intriguant d’un point de vue historique.

Je vous conseille ce super documentaire de la BBC pour une narration émouvante de l’Histoire de ce théorème.

Fermat-fr

En effet, Fermat avait prétendu avoir une preuve, mais n’a pas fait l’effort de l’écrire. Pendant 350 ans, les plus grands mathématiciens, les Euler, Gauss, Poincaré et les autres, ont essayé de suivre les pas de Fermat. Sans succès. Tous échouèrent. Ce n’est que récemment, en 1994, que, sans prévenir et après 7 ans de travaux solitaires et secrets et un échec intermédiaire cuisant, le mathématicien anglais Andrew Wiles réussit à suivre le pas de Fermat et à fournir enfin une preuve complète.

Fermat avait-il vraiment une preuve ?

La réponse poétique est que l’on ne sait pas, et que l’on ne saura jamais. Mais de façon plus pragmatique, la plupart des mathématiciens pensent que sa preuve était erronée. Après tout, la seule preuve connue aujourd’hui repose sur des siècles de mathématiques et était clairement hors de portée de Fermat. En particulier, la preuve de Wiles exploite des résultats récents sur les courbes elliptiques. Ceci dit, qu’il ait eu une preuve juste ou non, grâce à l’algèbre, Fermat aura clairement transformé notre compréhension des nombres. Toutefois, les algèbres de Tartaglia, Descartes and Fermat n’étaient encore rien, comparées à la Revolution algébrique qui approchait…

Le Théorème Fondamental de l’Algèbre

Avant d’en venir à la Révolution à laquelle je fais référence, il me faut revenir sur les résolutions des équations du 3ème et du 4ème degré par Tartaglia, Cardano et Ferrari. Aussi incroyable que cela puisse paraître, leur résolution passait par l’utilisation d’un tour de passe-passe complètement illégal.

Comment ça, illégal?

Je parle de l’utilisation d’un nombre dit imaginaire. Un nombre imaginaire qui semblait inexistant. Mais, qui, sans que l’on ne comprenne pourquoi ni comment, était incroyablement utile pour simplifier les calculs intermédiaires, et qui finissait constamment par disparaître en bout de ligne !

Pourquoi ce nombre est-il imaginaire ?

Et bien, parce que c’est « $\sqrt{-1}$ », un nombre donc le carré est -1. Et ça, oui, c’est super bizarre, puisque, d’habitude, les carrés ne sont pas négatifs. Par exemple, $(-1)^2=1$, et 1 est positif. Et en fait, la racine carré de -1, ce que j’ai noté $\sqrt{-1}$, ne peut pas être un nombre réel.

J’utilise ici les mots « imaginaires » et « réels » comme ils étaient utilisés à l’époque, et du coup, la phrase que je viens de dire a l’air de bien sonner. Mais, comme toujours, il faut absolument faire gaffe à ne pas se faire piéger par les mauvais choix de terminologie ! En fait, comme ViHart l’explique très bien, les nombres réels ne sont pas si « réels »… Et les nombres imaginaires, eux, ne sont pas franchement « imaginaires » !
Alors, comment moi je suis censé penser à ces nombres imaginaires ?

Pour moi, la clé pour comprendre les nombres imaginaires est d’oublier (oui, il faut oublier !) que les nombres réels et imaginaires sont des « nombres ». Et la meilleur façon d’oublier ceci est à travers le concept de corps, dont je vais reparler plus tard. Mais pour l’instant, concentrons-nous sur cette définition approximative : les nombres sont des solutions d’équations. Gardez ça en tête, et oubliez tout ce que vous avez appris d’autre sur les nombres ! Oubliez que les nombres comptent, et oubliez qu’ils sont ordonnés. Et bien, si vous avez réussi à oublier, et si vous pensez que les nombres sont des objets liés par des équations, alors la combinaison de nombres réels et imaginaires, appelée nombres complexes, sont clairement les meilleurs sortes de nombres.

Pourquoi ?

La raison pour ceci est l’un des plus beaux théorèmes de l’algèbre. Ce théorème a été prouvé par Carl Friedrich Gauss, le Prince des mathématiques, lequel est parfois considéré comme le plus grand mathématicien de tous les temps.

Gauss-fr

Et donc, ce théorème de Gauss, c’est quoi ?

C’est le théorème fondamental de l’algèbre. Il dit que, alors que certaines équations comme $x^2=-1$ n’ont aucune solution réelle, tous ont des solutions complexes (en dehors d’équations stupides comme $0x+1=0$). En termes mathématiques modernes, on dit que l’ensemble des nombres complexes est algébriquement clos. De façon cruciale, ça veut dire que les nombres complexes sont incroyablement plus simples quand il s’agit d’algèbre (et en fait, ceci est vrai en analyse aussi…).

Gauss a donné 3 preuves différentes de ce théorème. Cependant, la première preuve se trouva être fausse (et ne fut complétée qu’en 1920 par Alexander Ostrowski), et la seconde n’est arrivée qu’après celle de Jean-Robert Argand. Donc Argand était en fait le premier à fournir une preuve complète et correcte du théorème fondamental de l’algèbre. Mais, sans doute car il n’était qu’un amateur face au géant Gauss, le succès d’Argand est souvent éclipsé par la grandeur de Gauss… même dans cet article !

Corps et Groupes

La révolution française a eu lieu en 1789, mais la monarchie était revenue en 1815 après la chute de Napoléon. Le jeune français Évariste Galois n’aimait pas ça. En 1830, il fut emprisonné pour incitation à une nouvelle révolution. Puis, pour des raisons obscures, il fut défié en duel à l’arme à feux en 1832, qu’il perdit. Il mourut à l’âge de 20 ans.

S’il y avait un film Hollywoodien à faire sur l’Histoire des mathématiques, aucune hésitation, il faudrait le faire sur la vie de Galois. Politique, trahison, duels, emprisonnement, réjection, haine, coups de pistolet, génie et mort. Tout ça était le quotidien de Galois…

Et c’est quoi le lien avec les mathématiques ?

Eh bien, la politique n’était pas le seul ordre établi que Galois voulut combattre. Galois voulut aussi mettre au défi toute l’approche des mathématiques de son époque. Pour la première fois de l’Histoire, Galois ne voyait pas les mathématiques comme l’étude des nombres ou des formes. Pour Galois, ce devait être l’étude des structures. Cette intuition extraordinaire a depuis révolutionné toutes les mathématiques, non seulement en élargissant le champ des mathématiques, mais aussi en approfondissant notre compréhension des nombres et des courbes.

Tu peux donner un exemple ?

Par exemple, un triomphe de la théorie de Galois fut de prouver que la quête initiée par Al-Khwarizmi, Tartaglia, Cardano et Ferrari était achevée : Galois prouva que les équations du 5ème degré ne pouvaient pas être résolues, en tout cas pas par des opérations algébriques et des racines $n$-ième. Et la merveilleuse preuve de Galois repose sur l’étude systématique des structures, pas sur celle des nombres.

Euh… c’est quoi ces structures dont tu parles ?

Encore une fois, la clé pour comprendre Galois est l’abstraction et l’oubli. En particulier, encore une fois, il vous faut oublier tout ce que vous avez appris sur les nombres. Oubliez qu’ils comptent, qu’ils s’approximent, qu’ils s’ordonnent. Au lieu de cela, concentrez-vous sur la manière dont les nombres interagissent, comment ils s’ajoutent, se soustraient, se multiplient et se divisent. Autrement dit, regardez les nombres comme un corps. Par exemple, les nombres rationnels forment un corps, car ils peuvent s’additionner, se soustraire, se multiplier et se diviser, en ne formant que des nombres encore rationnels. De la même façon, les nombres réels forment un corps. Et les nombres complexes aussi. Mais il y a encore tout plein d’autres corps !

Comme quoi ?

Par exemple, les nombres modulo $p$, quand $p$ est premier, forment aussi un corps, lequel est fini ! Galois détermina aussi comment construire d’autres corps à partir des corps existants, comme les extensions finies des nombres rationnels comme $\mathbb Q[\sqrt{2}]$ et les extensions finies des nombres modulo $p$ dont les cardinaux sont $p^n$. Plus tard, vers la fin du 19ème siècle, on a d’ailleurs découvert que ces extensions finies des corps finis ont une limite infinie, appelée le corps des nombres $p$-adiques. Je sais, ça a l’air compliqué et pompeux. Mais de façon cruciale, l’abstraction de Galois permet d’unifier tous ces nombres : tous forment des corps.

OK, ce n’est pas tout à fait vrai. D’un côté, je doute que quiconque voit le corps des fractions de polynômes comme un corps de nombres. Et puis, il y a des nombres qui ne font pas partis de corps, comme les nombres ordinaux et cardinaux, dont on peut dire qu’ils sont des nombres car ils permettent eux aussi de « compter » ou « d’ordonner » des ensembles infinis… Au final, les nombres sont des nombres à cause des travers de l’Histoire, et aucune définition rigoureuse ne semble intéressante, ou du moins nécessaire.

Mais Galois alla encore un peu plus loin dans l’abstraction et l’oubli. Il étudia ainsi des structures sans multiplication ni division, mais seulement avec des additions et des soustractions. Il fit même mieux, en oubliant certaines propriétés de l’addition classique. Et tout ça, ça lui permit de manipuler des objets compliqués de la même manière qu’il manipulait les nombres.

Tu penses à quoi comme objets compliqués ?

Je pense aux symétries ! Comme les nombres, Galois remarqua que les symétries pouvaient être combinées. Par exemple, on peut combiner une rotation avec une symétrie axiale. Et le génie de Galois fut d’écrire la composition de ces symétries de la même manière que l’addition des nombres.

Attends… On ne peut pas composer des symétries comme on ajoute des nombres, si ?

On peut presque ! Il y a tout de même un détail délicat, à savoir la non-commutativité des symétries. Voilà qui est expliqué par Marcus du Sautoy à Ted :

Comparez la composition d’une rotation avec une symétrie axiale, à la composition d’une symétrie d’axiale et d’une rotation. Vous allez voir qu’en général ces deux compositions ne forment pas globalement la même symétrie. Autrement dit, l’ordre dans lequel on fait une composition compte. On dit que les symétries forment un groupe non-commutatif. Et comme les symétries sont omniprésentes dans la Nature et les sociétés, il se trouve que l’étude des groupes non-commutatifs groups est aussi féconde que celle des groupes commutatifs comme les nombres.

Euh… Tu peux donner un autre exemple ?

Un exemple particulièrement important de la non-commutativité est ce que Mickaël appelle le principe du parapluie, qu’il explique brillamment dans la vidéo ci-dessous :

Mais la découverte de l’importance de la non-commutativité est loin d’être la plus grande idée de Galois. Galois remarqua aussi et surtout que certains groupes définis de manières différentes étaient en fait les mêmes. Par exemple, les symétries d’un triangle équilatéral sont en fait en gros « les mêmes » que celles du groupe of permutations de trois éléments. De nos jours, on dirait que ces groupes sont isomorphes, ce qui est sans doute le concept le plus important des mathématiques d’aujourd’hui.

Prenez n’importe quel groupe. Oubliez sa définition. Oubliez son interprétation. Oubliez la motivation de son étude. Ce qui importe dans les mathématiques modernes est de trouver à quel groupe bien connu le groupe en question est isomorphe. Plus généralement, en fin de compte, les mathématiques correspondent souvent à prouver si des structures sont isomorphes ou non. Et ça, c’est sans doute la pensée la plus profonde de Galois, comme l’explique très bien Robin Jamet sur Podcast Science :

Mais, très souvent, déterminer des isomorphismes est hors de portée. En particulier, certains objets sont si compliqués (comme le groupe de Galois absolu) qu’il n’y a pas d’équivalent isomorphe bien connu auquel les comparer. Dans de tels cas, on peut vouloir les comparer à des structures plus simples, ce qui peut être fait grace à des morphismes. En gros, un morphisme est une façon d’intégrer une structure dans une autre, tout en préservant les propriétés essentielles de la structure. En un sens, un morphisme est la façon formelle d’oublier. Le meilleur de l’algèbre !

Galois fr

Tu peux donner un exemple ?

Par exemple, on peut intégrer le groupe des symétries du triangle équilatéral dans le groupe des nombres modulo 2, en se demandant si une symétrie en question n’est faite que de rotations ou si elle nécessite une symétrie axiale (ce que l’on appelle la parité).

Je parle ici du morphisme dit de signature $\sigma : S_3 \rightarrow \{ \pm 1 \}$.

Aujourd’hui, les groupes de Galois sont omniprésents en mathématiques modernes et en physique fondamentale. Mais je dirais que ce ne sont pas les structures algébriques les plus importantes…

L’Algèbre Linéaire

Étant donné leur omniprésence en mathématiques appliquées aujourd’hui, je trouve ça incroyable que l’algèbre linéaire n’a été développée qu’à la fin du 19ème siècle, avec les travaux de Cayley, Hamilton, Jordan et Peano. Incroyable qu’avant ces travaux, il était déraisonnable de parler d’espaces de dimensions 4, 5 ou plus, comme Mickaël le fait…

Et ce n’est plus le cas aujourd’hui ?

Même si les théoriciens des cordes, qui croient en un espace à 11 dimensions, ont du mal à faire accepter leurs idées, l’existence (ou, du moins, l’utilité) des espaces des grandes dimensions est évidente dès lors que l’on oublie qu’elles ont un quelconque lien avec l’espace physique.

Euh… oui, mais du coup, comment dois-je penser à ces espaces ?

À travers les lunettes éblouissantes de la géométrie algébrique ! Descartes nous a déjà montré la voie. Il a montré qu’un espace de dimension 1 pouvait être décrit par une variable, 2 pour la dimension 2, et 3 pour la dimension 3.

Laisse-moi deviner… Les espaces de dimension $n$ sont décrits par $n$ variables, c’est ça ?

Exactement ! Et ce qui est génial, c’est que la géométrie algébrique de Descartes marche dans les deux sens. Ça veut dire que les systèmes à $n$ variables peuvent être naturellement pensés comme des espaces de dimension $n$. Et c’est justement ce que l’on fait en Big Data !

Tu peux donner un exemple?

Un exemple important est la programmation linéaire, dévelopée par John von Neumann, Georg Dantzig et Leonid Kantorovich.

von Neumann fr

La programmation linéaire consiste en des méthodes d’optimisation pour des espaces de très grandes dimensions. Elle requiert des structures linéaires dans ces espaces, et il se trouve que beaucoup de problèmes se modélisent très bien avec de telles structures linéaires. Du coup, la programmation linéaire est devenue depuis une pièce fondamentale de bien des problèmes d’optimisation, et l’un des outils les plus indispensables pour les applications industrielles.

Waw ! Je ne savais pas que de l’algèbre si avancée avait des applications !

Yep ! Mais la plus importante application de l’algèbre linéaire est sans doute encore ailleurs !

Tu penses à quoi ?

Je pense à la mécanique quantique. Aussi étrange que cela puisse paraître, quand on étudie de plus près les particules élémentaires de notre univers, on se rend compte que ces particules élémentaires ne sont pas si simples. En fait, aux échelles les plus petites, le monde n’est pas fait de billes élémentaires, comme illustrées dans les livres de cours. Cette image des atomes et des électrons est fondamentalement erronée. Je dirais même que, pour une compréhension profonde de la physique des particules, il est indispensable d’oublier cette image.

Et donc, c’est quoi une particule ?

Oula, voilà une question bien difficile ! Ce que je peux dire sans trop de problème est qu’une particle ne peut jamais être décrite avec quelques nombres seulement, comme on le ferait pour une petite bille en déterminant ses coordonnées et sa vélocité. Au lieu de cela, une particule doit être décrite par un vecteur de très très grande dimension (en fait, de dimensions infinies !), et dont les coordonnées (qui ne sont pas les coordonnées dans l’espace physique !) sont des nombres complexes.

Mais pourquoi donc les lois fondamentales de la physique devraient-elles s’écrire dans un langage aussi sophistiqué que l’algèbre moderne ?

Voilà l’un des plus grands mystères de la physique. Ou peut-être, c’est du moins ce que je pense en tant que mathématicien appliqué, c’est à cause de l’extrême simplicité et complétude des merveilleuses structures des nombres complexes et des espaces vectoriels. Pour avoir un modèle concis, puissant et séduisant d’un phénomène, il semble que la meilleure chose à faire est d’utiliser des structures complètes, simples et élégantes…

Une Petite Conclusion

Pour beaucoup, les mathématiques sont bien trop abstraites pour avoir quoi que ce soit à voir avec la « réalité ». Et oui, surtout en mathématiques modernes, c’est souvent le cas. Mais, de façon remarquable, alors que les mathématiques ont surtout été développées pour des raisons d’esthétisme, beaucoup de ces mathématiques ont fini par trouver des applications surprenantes. Aussi contre-intuitif que cela puisse paraître, l’art d’oublier d’Al-Khwarizmi art était la clé à une compréhension fondamentale de la réalité, et l’Histoire de l’algèbre est une accumulation d’exemples de cela. De la géométrie de Descartes à l’arithmétique de Fermat, du théorème de Gauss à la théorie de Galois, de la programmation linéaire à la mécanique quantique, l’ensemble des phénomènes compris grâce à l’algèbre a connu une croissance spectaculaire. Bien malin qui pourra en concevoir les limites…

Malheureusement, cet article est bien trop court pour mentionner les avancées modernes en algèbre. Entre autres, citons les applications à la classification des formes topologiques, appelées topologie algébrique, son application à la théorie quantique des champs comme la théorie de jauge, et la monstrueuse classification des groupes finis simples de 10,000 pages. On a aussi rapidement mentionné l’utilisation des courbes elliptiques et des corps de nombres par Andrew Wiles pour cracker le dernier théorème de Fermat. Ce résultat utilise quelques briques élémentaires du plus gros chantier appelé le programme de Langlands. Ce programme conjecture des liens profonds entre différentes structures algébriques, dont le mystérieux groupe de Galois absolu, à travers notamment les fonctions L. Ce programme est aujourd’hui le summum des mathématiques modernes, et le résoudre (ou en révéler une partie) est le défi réservé aux plus grands mathématiciens d’aujourd’hui.

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