La Plus Belle Équation des Maths : L’Identité d’Euler

En 1988, suite à un sondage du « Mathematical Intelligencer », l’identité d’Euler a été élue la plus belle équation des mathématiques. En une équation mystique, cette identité a réuni les nombres les plus incroyables des mathématiques : $e^{i\pi}+1=0$.

Euh… Quoi ??? Qu’est-ce que ça veut dire ?

On y vient. Mais avant cela, je veux insister une fois de plus sur la beauté spectaculaire de l’identité d’Euler. Une étude a montré que l’identité d’Euler était si belle qu’elle excitait les mêmes zones du cerveau qu’un grand morceau de musique ou qu’une magnifique pièce d’art ! Si vous ne me croyez pas, écoutez l’incroyable William Dunham :

Je vous recommande fortement de regarder l’entièreté de la présentation de William Dunham sur Leonhard Euler. C’est l’une des meilleures présentations que j’ai vues !

La Dream Team des Nombres

Pour tomber amoureux d’une histoire, il faut une connaissance intime de ses personnages. Donc, avant de parler de l’identité d’Euler, laisser vous peindre les portraits de la dream team des nombres qui composent l’identité. Et je vais commencer par le plus important de tous, le nombre $wau$, tel qu’il est présenté dans cette merveilleuse vidéo de ViHart:

Le nombre $wau$ est si omniprésent qu’on a tendance à oublier sa présence ! Par exemple, $wau$ est la seule solution des équations $(x^2)! = x$ and $x^x = x$.

Attends… Tu veux dire que $wau = 1$?

Oui ! Et comme $wau$ est le tout premier nombre de l’Histoire des mathématiques, on peut dire que c’est le père de toutes les mathématiques ! Étant donné cette observation, ne pensez-vous pas que « $wau$ » est un nom bien plus approprié que « 1 » ?

Hahaha… J’imagine…

Bref. Passons. De façon surprenante, le second nombre à avoir rejoint la dream team n’est pas $0$, mais $\pi$. Et pourtant, le nombre $\pi$ est en fait incroyablement évasif ! $\pi$ est d’abord apparu pendant l’antiquité, il y a au moins plusieurs millénaires avant notre ère. Il est défini comme l’aire d’un disque de rayon 1, ou comme le rapport de la circonférence d’un cercle par son diamètre. Du coup, $\pi$ est véritablement le symbole de la géométrie.

Et pourquoi tu dis qu’il est évasif ?

Parce que ce n’est pas avant le 18ème siècle que des propriétés basiques de $\pi$ ont été découvertes, comme le fait qu’il est irrationnel. Ça veut dire que $\pi$ ne peut pas être écrit comme le ratio de deux entiers. Un siècle plus tard, on a même prouvé qu’il était transcendental, ce qui veut dire que $\pi$ évolue au-delà du monde de l’algèbre. Mais le plus cool, c’est que $\pi$ est devenu une véritable icône de toutes les mathématiques, qui nous amène à célébrer des trucs comme le jour de $\pi$ !

Tandis que $wau$ et $\pi$ sont des nombres antiques, les autres éléments de la dream team n’ont été recrutés que plus récemment. Le nombre $0$ n’a été inventé (découvert ?) qu’autour du 7ème siècle en Inde. On attribue souvent la découverte à Brahmagupta. Et ça a profondément révolutionné notre vision des mathématiques et des nombres, comme l’explique l’excellent Marcus du Sautoy dans le documentaire Story of Math de la BBC:

L’invention du $0$ a ainsi permis d’ensuite inventer les nombres négatifs. Grâce à ceux-ci, les indiens, puis les arabes et les européens, pouvaient ensuite développer les concepts de dettes et de crédits, ce qui a ensuite permis l’investissement et donc un développement économique accéléré. En fait, $0$ peut être vu comme l’origine de l’algèbre.

OK… Mais jusque là, je connaissais tous ces nombres… Qu’en est-il de $i$ et $e$?

Le nombre $i$ est fameusement connu sous le nom de nombre imaginaire. Cependant, beaucoup disent qu’il s’agit d’une terminologie horriblement mauvaise, puisque $i$ apparaît dans tellement de domaines qu’il n’est clairement pas plus imaginaire que les nombres « réels » comme $\pi$. Et je suis d’accord. En fait, certains mathématiciens d’aujourd’hui comme Norman Wildberger diraient que $i$ est bien plus « réel » que $\pi$! Quoiqu’il en soit, la raison pour laquelle je trouve cette terminologie malgré tout attrayante est que l’invention de $i$ a coïncidé avec la (re)naissance des mathématiques pures.

Qu’est-ce que tu veux dire ?

Historiquement, l’algèbre fut importée en Europe via l’empire musulman. Mais l’algèbre n’était pas simplement un outil puissant pour ingénieurs. C’était aussi et surtout le langage idéal pour poser et résoudre des problèmes nouveaux, comme adresser des équations. Par la suite, des équations abstraites comme $x^2+1=0$ ont ensuite naturellement conduit les mathématiciens à inventer un nombre dont le carré est $-1$. Ce nombre, noté parfois abusivement $\sqrt{-1}$, est précisément $i$.

Donc, $i$ n’est qu’une invention abstraite des maths pures sans lien avec le monde réel ?

Au début, oui. Cependant, aussi surprenant que cela puisse paraître, notamment à cause de l’identité d’Euler, le nombre $i$ joue maintenant un rôle central dans de nombreux domaines, surtout en physique et en ingénierie, comme l’expliquent ces deux professeurs sur Sixty Symbols:

Enfin, venons-en à $e$, le nombre d’Euler.

Est-ce qu’Euler l’a inventé juste pour écrire son identité?

Pas du tout ! Si Euler introduisit $e$, c’était pour décrire la croissance continue à 100%.

Qu’est-ce que tu veux dire ?

Imaginons mettre 1€ à la banque. Et supposons que la banque nous dise qu’on va gagner 100% d’intérêt chaque année. Bon, parce que ce sont des escrocs (la bise à mes amis banquiers !), ils vont seulement calculer les intérêts à la fin de l’année. Du coup, nous gagnerons 1€ de plus, ce qui nous fera un total de 2€.

Pourquoi tu dis que ce sont des escrocs ?

Parce qu’ils ont attendu la fin de l’année pour calculer nos gains ! Au lieu de cela, on pourrait leur dire de calculer les intérêts tous les mois. Or, puisqu’on fait 100% d’intérêt sur 12 mois, et parce que $100/12 \approx 8,33$, on devrait gagner 8,33% d’intérêt par mois. Or, si la banque accepte, au lieu de finir avec 2€ à la fin de l’année, on aura 2,61€!

Wow ! En effet…

Mais attendez ! On peut s’en sortir encore mieux en calculant les intérêts tous les jours. Ou mieux encore, toutes les heures. Ou même toutes les secondes. Si l’on poursuit se raisonnement à l’infini, on obtient une croissance continue, qui résulte en $e \approx 2,718$€ à la fin de l’année. Et ça, c’est ce que l’on a avec une croissance continue de 100%. Formellement, cette approche définit $e = \lim (1+1/n)^n$. Par ailleurs, le fait que $e$ est la croissance continue à 100% implique que $e$ vérifie l’équation différentielle $e^x = d(e^x)/dx$. Ceci fait de $e$ le symbole de l’analyse.

Le tour est joué ! On a notre dream team !

Exactement ! Résumons tout ceci :

Dream Team

Et dire que tous ces nombres, malgré venant d’origines distinctes et variées, ont fini par se réunir et à former une équation incroyablement jolie… C’est complètement fou ! Ouf même ! Et ça explique pourquoi l’identité d’Euler est si souvent vue comme la plus belle équation des mathématiques !

La Preuve Intuitive

Avant de parler de la preuve originale d’Euler, voyons l’intuition derrière l’identité d’Euler. Et pour en venir là, il me faut vous familiariser avec deux objets mathématiques majeurs : le plan complexe et les dérivées.

La preuve intuitive est très intéressante car elle fait intervenir certains des plus importants et plus beaux objets des mathématiques. Elle n’est pas simple, mais je vous recommande fortement de faire l’effort de bien la comprendre entièrement, car elle est très instructive.
C’est quoi ce plan complexe et ces dérivées ?

Commençons par le plan complexe. Il semble avoir été découvert par le géant Carl Friedrich Gauss un demi-siècle après l’époque d’Euler, avant d’être ensuite redécouvert indépendamment et publié par Argand. Tandis que les nombres réels sont des points sur une ligne de dimension 1, les nombres imaginaires et complexes sont des points dans un plan de dimension 2. En effet, un nombre complexe peut toujours s’écrire $a+ib$, où $a$ et $b$ sont les coordonnées du nombre complexe.

Complex Plane fr

Un nombre complexe peut aussi être vu comme un mouvement, appelé vecteur, de l’origine au point qu’il représente. Il ne nous reste plus qu’une chose à savoir sur les nombres complexes pour pouvoir expliquer l’intuition derrière l’identité d’Euler : multiplier un nombre complexe par $i$ correspond à tourner la direction du mouvement par un quart de tour anti-horaire. Ce sera essentiel sous peu…

Si $i$ correspond à un quart de tour, c’est parce que $i^4=(i^2)^2=(-1)^2=1$. Donc multiplier un vecteur quatre fois par $i$ doit correspondre à multiplier par 1, qui doit correspondre à ne rien faire. Quelle opération géométrique répétée quatre fois correspond à ne rien faire ? Réponse : la rotation d’un quart de tour.
Et les dérivées ?

Les dérivées décrivent le mouvement instantané d’une trajectoire dans le plan complexe.

Et ça ressemble à quoi une trajectoire dans le plan complexe ? Je veux dire, mathématiquement…

Une trajectoire est une fonction $f$ qui à tout instant $t$ associe un point $f(t)$ du plan complexe. En variant la valeur de $t$, le point $f(t)$ va décrire une trajectoire dans le plan complexe. Par exemple, si $f(t) = t+it$, alors $f$ va correspondre à la trajectoire qui fait la diagonale principale à vitesse constante.

Trajectory fr glù

Donc, vraiment, une fonction réelle à valeurs complexes est juste une trajectoire dans le plan complexe.

OK… Mais qu’est-ce que ceci a à voir avec les dérivées ?

Si l’on suit les pas de Newton, la dérivée d’une trajectoire à un temps donné est sa vitesse instantanée à ce temps donné. Donc, par exemple, dans la figure ci-dessus, à chaque point, la vitesse instantanée est un mouvement en diagonale direction droite-haut. Vous pouvez deviner que la dérivée est le vecteur $1+i$, car, en une unité de temps $t$, le point avance selon le mouvement $1+i$. Et ce qui est génial est que l’on obtient le même résultat avec les règles de calculs de dérivées.

Vous pouvez en savoir plus avec mon article sur l’analyse (en anglais).
Quelles sont ces règles de calculs ?

Vous avez peut-être appris que la dérivée de $\alpha t$ est $\alpha$ lorsque $\alpha$ est un nombre réel. Et bien, devinez quoi. La même formule reste vraie lorsque $\alpha$ est un nombre complexe ! Du coup, la dérivée de $f(t) = t+it = (1+i)t$ est…

$1+i$. Super !

On se rapproche de la preuve intuitive de l’identité d’Euler ! Comme on l’a vu plus tôt, la propriété fondamentale du nombre d’Euler $e$ est que la dérivée de $e^t$ est $e^t$. En utilisant les règles de calcul des dérivées, on en déduit que la dérivée de $e^{it}$ est $ie^{it}$.

La loi à laquelle je fais référence est la loi de composition des dérivées : la dérivées de $u \circ v$ est $(u’ \circ v) v’$. Pour être rigoureux, il faudrait d’abord généraliser cette loi à des fonctions à valeur complexe (ou, plus généralement, vectorielle).
Attends… T’as pas dit que multiplier par $i$ correspond à une rotation du mouvement d’un quart de tour anti-horaire ?

Oui ! Donc, à chaque instant $t$, la trajectoire $e^{it}$ est à un point $e^{it}$ du plan complexe. Or, $e^{it}$ est aussi le vecteur de l’origine au point $e^{it}$. Du coup, $ie^{it}$ est un vecteur perpendiculaire à l’axe entre l’origine $0$ et $e^{it}$, dans le sens anti-horaire. Oui je sais… ce que j’écris est dur à lire. Laissez-moi illustrer tout ça :

Trajectory of eit fr

Remarquez comment j’utilise les différentes interprétations géométriques de $e^{it}$. Il y a la trajectoire $e^{it}$ (qui devrait être en fait notée $t \mapsto e^{it}$), le point $e^{it}$ et le vecteur $e^{it}$. De façon similaire, il y a la dérivée $ie^{it}$ et le vecteur $ie^{it}$.

Si vous avez fait de la physique, vous devriez immédiatement visualiser la trajectoire $e^{it}$.

Je crois que je n’ai pas fait assez de physique…

Et si je vous disais que l’origine était la Terre ?

Je serais donc tenter de dire que $e^{it}$ est la Lune…

Exactement ! Comme la Lune, le point $e^{it}$ se déplace perpendiculairement à l’axe Terre-Lune. Et par conséquent…

Je sais ! La trajectoire de $e^{it}$ est celle d’un cercle !

Bingo ! La trajectoire de $e^{it}$ est celle d’un cercle qui tourne dans la direction anti-horaire !

The Unit Circle

Vous pouvez prouver ceci formellement en étudiant la variation du carré de la distance entre $e^{it}$ et l’origine. Puisque cette variation est nulle, on en déduit que la distance entre $e^{it}$ et l’origine doit être constante. Autrement dit, $e^{it}$ doit appartenir au cercle dont l’origine est le centre.

Or, puisque $e^{it}=e^0 = 1$ si $t=0$, ceci veut dire que le cercle doit passer par 1. Ce cercle est donc nécessairement de rayon 1 ! De plus, puisque la vecteur directeur de la trajectoire est la rotation du vecteur $e^{it}$, sa vitesse va être aussi la longueur du vecteur $e^{it}$, qui est le rayon du cercle : 1. Ainsi, la trajectoire $e^{it}$ est un parcours anti-horaire du cercle unité à vitesse 1. C’est pas joli, ça ?

Wow ! C’est super simple en fait !

Et oui ! Tout ceci nous permet de déduire la formule $e^{it} = cos(t) + i sin(t)$. Mais on n’a même pas besoin de ça pour en déduire l’identité d’Euler… Question. Que se passe-t-il si $t=\pi$?

Que veux-tu dire ?

Je rappelle qu’à $t=0$, la trajectoire $e^{it}$ part à 1. Or, elle se déplace selon le cercle unité à vitesse 1. Donc, à $t=\pi$, elle aura parcouru une distance $\pi$ sur le cercle de rayon 1…

Et puisque la circonférence du cercle est $2 \pi$, ça veut dire que la trajectoire aura fait un demi-tour !

Exactement ! Et c’est là que la géométrie du cercle associée à $\pi$ entre en jeu ! Et donc, $e^{i\pi}$ est l’antipode de 1 sur le cercle unité, qui est -1. Du coup, $e^{i\pi}=-1$. Ou, de façon équivalente, on obtient la merveilleuse identité d’Euler :

Je vous invite à chercher à formaliser tous les éléments de cette preuve… C’est un bon exercice. Par ailleurs, si vous trouvez bizarre qu’on ne s’intéresse qu’au demi-tour plutôt qu’au tour complet. J’y reviendrai…

La Preuve d’Euler

La preuve intuitive et instructive que l’on vient de voir n’était pas celle d’Euler. Leonhard Euler, lui, était connu pour sa maîtrise des sommes infinies, et c’est par cette voie qu’il en arriva à son identité.

La preuve ne va pas être aussi instructive que la précédente. Toutefois, elle requiert d’autres techniques essentielles des mathématiques. Elle est toutefois plus calculatoire.

Les objets clés de la preuve d’Euler sont les séries entières. Quelques décennies avant Euler, les mathématiciens anglais Brook Taylor et Colin Maclaurin ont découvert que de nombreuses fonctions réelles $f(t)$ peuvent s’écrire comme des sommes infinies de puissances de $t$, appelées séries entières. En fait, dans plusieurs cas, les dérivées de $f(t)$ à $t=0$ sont suffisantes pour déterminer la série entière de $f$. En notant $f^{(n)}(0)$ la $n$-ième dérivée à $t=0$, la série Taylor-Maclaurin peut alors s’écrire comme suit :

Taylor Maclaurin Series

Or, Euler savait déjà que la dérivée de $sin$ est $cos$, que la dérivée de $cos$ est $-sin$, que $sin(0) = 0$ et que $cos(0) = 1$. Du coup,

  • $sin(0)=0$, $sin^{(1)}(0)=cos(0)=1$, $sin^{(2)}(0)=-sin(0)=0$, $sin^{(3)}(0)=-cos(0)=-1$, $sin^{(4)}(0)=sin(0)=0$…
  • $cos(0)=1$, $cos^{(1)}(0)=-sin(0)=0$, $cos^{(2)}(0)=-cos(0)=-1$, $cos^{(3)}(0)=sin(0)=0$, $cos^{(4)}(0)=cos(0)=1$…

Et donc, la série Taylor-Maclaurin des fonctions sinus et cosinus sont les suivantes :

De plus, rappelons que la dérivée $e^t$ est $e^t$ et $e^0=1$. Par conséquent, toutes les dérivées de tous les ordres of $e^t$ en 0 sont égaux à $e^0=1$. On en déduit alors la série de Taylor-Maclaurin :

Le coup de génie d’Euler fut ensuite de remplacer $t$ par $it$ dans l’équation ci-dessus. En séparant maintenant les parties réelles et imaginaires (je veux dire, les termes avec $i$), alors, de façon magique, l’expression de $e^{it}$ se décompose parfaitement en $cos(t) + i sin(t)$. Comme je l’explique ci-dessous :

Et donc, $e^{it} = cos(t) + i sin(t)$. En choisissant maintenant $t=\pi$, et en utilisant $cos(\pi)=-1$ et $sin(\pi)=0$, on conclut $e^{it} = -1$. Ou, de façon équivalente,

Comme vous l’avez deviné, je ne suis pas un fan de cette preuve, car elle requiert beaucoup de calculs. Mais aussi car elle est plus piégeuse qu’elle n’en a l’air. Pour commencer, il nous faudrait d’abord définir les fonctions sinus et cosinus. Ensuite, il nous faudrait en déduire les propriétés du sinus et du cosinus. Puis, il nous faudrait encore prouver que $sin(\pi)=0$ et $cos(\pi)=-1$. Ensuite, il nous faudrait prouver que les séries de Taylor-Maclaurin pour les fonctions sinus, cosinus et exponentielle sont bien égales à ces fonctions, même lorsque leurs entrées sont des nombres complexes. Au final, toutes ces étapes cumulées se trouvent être plus longues et plus dures que la preuve intuitive que nous avons donnée (mais historiquement, soit elles étaient prouvées, soit le niveau de rigueur de l’époque n’en nécessitait pas de preuve)… Mais surtout, la première preuve était plus instructive. Et ça, c’est le plus important pour une preuve.

Concluons

L’identité d’Euler est l’une des plus belles prouesses mathématiques car elle réunit en une seule équation tous les nombres les plus importants des mathématiques. Mais la phrase que je viens de dire n’est encore qu’un doux euphémisme, car elle ne révèle pas l’incroyable et profonde connection entre les différents domaines que l’identité d’Euler dévoile. Toutefois, il se pourrait qu’un intrus se soit immiscé dans cette équation… Sérieusement. Depuis quelques années, certains mathématiciens et physiciens affirment haut et fort que l’un des membres de la dream team est un imposteur.

Tu parles duquel ? Tu parles de $i$ ? Ou de $e$ ?

Héhé… Je parle de $\pi$. Et je suis d’accord avec le mouvement anti-$\pi$. La vraie constante fondamentale du cercle et de la géométrie, celui qui est la période de la fonction $e^{it}$ et celui qui mesure un angle correspondant au tour complet, ce n’est pas $\pi$, mais $2\pi$. Ainsi, pour beaucoup, moi compris, la vraie constante est $\tau = 2\pi \approx 6.28$. Et la vraie identité d’Euler correspondant au cercle est $e^{i\tau} = 1$.

Euler Identity Tau

En fait, j’ai même parié un resto avec des amis que $\tau$ serait utilisé plutôt que $\pi$ dans les livres de cours en 2034. Aidez-moi à gagner ce pari en utilisant $\tau$ plutôt que $\pi$ dès que vous en avez l’opportunité ! J’ai entendu dire qu’une thèse avait été écrite en Allemagne qui faisait justement ça. Vous aussi, faites-le ! Tauistes, unissons-nous pour révéler l’imposture de $\pi$ !!! Vous pouvez en savoir plus avec le tau manifesto.

Que $\pi$ soit une imposture ou non, la mystique identité d’Euler est surtout un code secret au sujet de la perfection du cercle unité, qui combine discrètement des sous-domaines diverses et variés des mathématiques ! En fait, les innombrables propriétés du cercle unité sont précisément les raisons pour lesquelles l’identité d’Euler a autant d’applications fondamentales, notamment en physique.

Vraiment ?

Oui ! Et tout ceci est intimement lié à l’analyse de Fourier. En gros, l’incroyable découverte Fourier est le fait qu’une grande classe de trajectoires dans le plan complexe correspond à l’addition d’un nombre infini de cercles unités parcourus à différentes vitesses et dans les deux directions. En analyse, ceci veut dire que beaucoup de fonctions $f(t)$ réelles à valeurs complexes peuvent s’écrire $\int g(\omega) e^{i\omega t} d\omega$, où $\omega$ est la vitesse (possiblement négative) de parcours anti-horaire des cercles unités. Une autre application importante de l’identité d’Euler est l’étude de la résonance.

Découvrez-en plus avec mon article sur l’analyse de Fourier (en anglais), et, plus une description plus instructive et plus abstraite de l’analyse de Fourier, allez voir mon article sur la dynamique de la fonction d’onde (en anglais aussi).

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Une réaction à “La Plus Belle Équation des Maths : L’Identité d’Euler

  1. Je trouve cet article très intéressant, il apprend beaucoup de chose sur cette fameuse identité qui n’est à mon goût pas assez discutée. Il permet aussi de savoir qu’il y a parfois plusieurs façons de démontrer quelque chose, et que la démonstration la plus belle, ou la plus pédagogique, n’est pas forcément celle utilisé à la base. Merci pour cet article ! Même si je pense que je le relierais car je n’ai pas très bien compris le principe de dérive, ou plus précisément de vitesse instantané.

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