Accélération constante en relativité restreinte | Défi Lê 2

La question de ce défi Lê est la suivante. Si on accélère de façon constante, dépassera-t-on la vitesse de la lumière ? Le texte qui suit est un complément à la vidéo, qui sera un peu plus technique.

Dilatation du Temps

Dans la vidéo, je vous ai dit qu’une seconde selon Sheldon correspondait à $\gamma$ secondes selon nous, où $\gamma$ est le facteur de Lorentz. On peut aussi l’appeler le coefficient de dilatation. Je vous propose ici de réutiliser l’expérience de pensée avec Sheldon Cooper pour calculer $\gamma$.

Appelons $v$ la vitesse de Sheldon dans le référentiel de Leonard, $c$ la vitesse de la lumière, et concentrons-nous à l’image 3:12. Supposons que le sabre laser vertical de Sheldon fait une $h$ d’une seconde-lumière de haut. Dans le référentiel de Sheldon, le temps qu’il faut pour la lumière de faire un aller est donc $h/c$ d’une 1 seconde. Le temps de cet aller dans le référentiel de Leonard est alors égal à $t = \gamma h /c$ secondes. Dans ce référentiel, la lumière suit un trajet en diagonale. Puisqu’elle va à la vitesse de la lumière, elle parcourt alors une distance $ct = c (\gamma h / c) = \gamma h$. Cette trajectoire est aussi l’hypoténuse d’un triangle rectangle de hauteur $h$, et de longueur gauche-droite $vt = \gamma h v /c$. D’après le théorème de Pythagore, on a donc, $c^2 t^2 = h^2 + v^2t^2$. Une fois que l’on remplace $t$ par des expressions faisant intervenir $h$, on obtient $\gamma^2 h^2 = h^2 + \gamma^2 h^2 v^2 /c^2$, que l’on peut réécrire en $\gamma^2 (1-v^2/c^2) = 1$, puis $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$.

Masse et énergie relativistes

Pour commencer, rappelons que la masse telle que conçue par Einstein est la masse inertielle $m$, qui mesure la force qu’il faut appliquer à un corps pour lui donner une accélération de $1 m/s^2$. C’est ce que j’explique dans ma vidéo sur l’équation $E=mc^2$.

Pour expliquer le concept de masse relativiste, il va falloir aller encore un peu plus loin. L’objectif d’Einstein était d’adapter le principe fondamental de la physique de Newton à la mécanique relativiste. Il se rendit alors compte que les forces n’affectaient pas l’accélération des objets en mouvement de la même manière qu’elles affectaient celles des corps au repos. Or l’équation de Newton s’écrit $\vec F = m \vec a = \frac{d\vec p}{dt}$, où $\vec p = m \vec v$ est ce que l’on appelle la quantité de mouvement. Einstein supposa que cette équation était bien vraie pour des objets au repos, et il remarqua qu’elle resterait vrai dans tous les cas si on l’écrivait $\vec F = \frac{d(\gamma m \vec v)}{dt}$. D’où son idée de poser $m_{rel} = \gamma m$ et de l’appeler « masse relativiste ». De fil en aiguille, il redéfinit la quantité de mouvement $\vec p_{rel} = m_{rel} v = \gamma m \vec v$, de sorte que l’équation de Newton $\vec F = \frac{d\vec p_{rel}}{dt}$ reste vraie.

Par ailleurs, l’équation que l’on a prouvé dans la vidéo ci-dessus dans sa forme générale s’écrit $E_{cinetique} = (\gamma-1) mc^2$. En l’ajoutant à l’énergie de repos $mc^2$, on obtient la forme générale de l’énergie d’un corps $E = \gamma mc^2$. En fait, plus généralement, dans l’espace-temps de Minkowksi de dimension 4, on peut représenter le quadrivecteur $u^\alpha = (E/c, \vec p_{rel}) = (\gamma mc, \gamma m \vec v)$. Ce quadrivecteur indique la direction d’une particule à travers l’espace-temps.

Équation différentielle

Je vais simplement admettre ici que la loi de la composition des vitesses est vraie (il y a des preuves complètes sur cette page wikipedia). Ainsi, si Sheldon va à une vitesse $v$ par rapport à Howard, qui va à une vitesse $u$ par rapport à Leonard, alors Sheldon va à une vitesse $\frac{u+v}{1+uv/c^2}$. Plus généralement, par rapport à son référentiel précédent, Sheldon gagne une vitesse $a d\tau = a dt/\gamma$ à chaque intervalle de temps $dt$. Sa nouvelle vitesse est alors $v(t+dt) = \frac{v(t)+adt/\gamma}{1+\frac{v(t)a dt}{\gamma c^2}}$. Après quelques manipulations, on obtient finalement $v(t+dt) + \frac{av(t) v(t+dt)}{\gamma c^2} dt = v(t)+ \frac{a}{\gamma} dt$. Puis, $\frac{dv}{dt} = \frac{v(t+dt)-v(t)}{dt} = \frac{a}{\gamma} \left( 1-\frac{v^2}{c^2} \right)$. La solution de cette équation, trouvée par Alexis Selezneff (sous le pseudonyme Marjorie Hegyes sur YouTube), est $v(t) = \frac{ta+Kc}{\sqrt{1+\frac{ta}{c}+K}}$, où $K$ est une constante déterminée par la vitesse initiale. Il s’agit bien d’une fonction croissante qui tend vers $c$ sans jamais dépasser cette vitesse maximale.

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